Zmienne losowe

[karmell]

Dzień dobry,
mam kilka zadań ze zmiennych losowych. Takich i podobnych. Bardziej niż o poznanie samych wyników chodzi mi o algorytmy rozwiązań. Nie pogardzę też odesłaniem do jakiejś strony/pdfa/książki, gdzie jest to na poziomie takich zadań wyjaśnione.

1. \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych U(0,1). Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ Y=-ln(X_1X_2)}\).
2. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości \(\displaystyle{ f(x,y)=cxy}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le y \le 1}\). Wyznaczyć dystrybuantę tego rozkładu.
3. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają ten sam rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\) oraz \(\displaystyle{ E(Z)}\), \(\displaystyle{ V(Z)}\).


Bardzo dziękuję

[pyzol]

\(\displaystyle{ Y=-\ln X_1 X_2=-(\ln X1+ \ln X2)}\)
Najpierw szukamy rozkladu z l \(\displaystyle{ -\ln X_i}\)
\(\displaystyle{ =P(-\ln X_i \le t)=P(\ln X_i \ge -t)=P(X_i \ge e^{-t})=1-F(e^{-t})=1-e^{-t}}\), zalozenie dla t: \(\displaystyle{ t\in [0,\infty]}\).
Teraz poszukaj cos u rozkladzie wykladniczym.