Gęstość rozkładu sumy dwóch zmiennych losowych, splot funkcj

[Diomene]

Mam nadzieję, że już po raz ostatni proszę o pomoc w tym dziale

Mam zadanie z rozwiązaniem, proszę tylko o wytłumaczenie jednej kwestii.
Tak więc:
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X i Y}\) są niezależne i każda ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (0,1).}\) Wyznacz gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ S = Z + Y}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1\ \gdy\ \ x \in (0,1) \\ 0 \ \wpp. \end{cases}
\\}\)
f(y) analogicznie.

Teraz korzystam z wzoru na splot fukncji i otrzymuję
\(\displaystyle{ f _{} s\ (s)=\begin{cases} \int_{0}^{s} 1 dx = s \ \ gdy\ \ s \in (0,1) \\ \int_{s-1}^{1} 1dx = 2-s \ \ gdy\ \ s \in (1,2) \end{cases}}\)

Czy może mi ktoś wytłumczyć, skąd się wzięły przedziały w całkach? Tzn, s, s-1.

[Kartezjusz]

Z tego samego powodu,co przy sumie rozkładów jednostajnych przedziały niezerowania się całki...

[Diomene]

Niestety nie rozumiem. Mógłbyś napisać mi dokładnie, jak to wyznaczyć?

[mm34639]

Przede wszystkim, chyba lepiej to zrobić bez splotu, tak będzie uniwersalniej (można podobnie liczyć gęstości bardziej skomplikowanych funkcji zmiennych losowych, nie tylko ich sumy):

Weźmy gęstość rozkładu łącznego zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)
to będzie \(\displaystyle{ f(x,y)=1}\) na kwadracie \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1]}\) , 0 gdzie indziej.

Znajdziemy dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X+Y}\) : \(\displaystyle{ F_{X+Y}(t)=\mathbb{P}(X+Y \leq t)=\int_{\{ x+y\leq t\}}f(x,y)dxdy=}\)

dla \(\displaystyle{ t in [0,1)}\)
\(\displaystyle{ =\int_0^t \int_0^{t-x}dydx=\int_0^1 (t-x) dx=tx-\frac{x^2}{2} \left|^t_0=\frac{t^2}{2}}\)
tu można było nie liczyć całki, bo widać że to pole trójkąta

dla \(\displaystyle{ t \in [1,2]}\)

nie chce mi się wypisywać całek, zauważam że czego szukam (szare) to pole dużego trójkąta - 2 pola małych zielonych trójkacików
(oczywiście mogę całkę potraktować jako pole tylko dlatego, że pod podwójną całką jest funkcja stała, inaczej trzeba liczyć normalnie)

\(\displaystyle{ F(t)=\frac{t^2}{2}-(t-1)^2=-\frac{t^2}{2}+2t-1}\)

Gęstość = pochodna dystrybuanty
dla \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\): \(\displaystyle{ f(t)=(\frac{t^2}{2})'=t}\)
dla \(\displaystyle{ t \in [1,2]}\): \(\displaystyle{ f(t)=(-\frac{t^2}{2}+2t-1)'=-t+2}\)

Co do splotu:

Z definicji, splot \(\displaystyle{ f*g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(s)g(x-s)ds}\)

Czyli wartość splotu w punkcie x , to całka z iloczynu funkcji f , i funkcji g "w lustrzanym odbiciu" względem pionowej osi, i przesunietej o x w prawo
narysuję Ci to
(w moich oznaczeniach x i s są zamienione rolami w stosunku do Twoich oznaczeń)


Czarne to wykres funkcji f(s) , zielony g(x-s) dla różnych iksów , zakreskowany obszar to wartość całki=wartość splotu=wartość funkcji gęstości sumy zmiennych dla różnych x (oś pozioma to "s")

oczywiście f(s)g(x-s) jest równe 0 tam gdzie f(s)=0 lub g(x-s)=0 , a tam, gdzie na siebie "nachodzą" ich iloczyn jest równy 1, my liczymy całkę z tego iloczynu, czyli całkę z jedynki tam gdzie iloczyn=1
właśnie stąd te granice całkowania

Widzimy że splot jest równy 0 gdy x<0 lub x>2 , rośnie sobie dla iksów od zera do jedynki osiągając maksimum=1 dla x=1 , i później maleje dla x od 1 do 2.

[Diomene]

Dziękuję za taką wyczerpującą odpowiedź, bardzo mi to pomogło

[harel]

Mam pytanko. Powyższe rozwiązanie jest świetne i na pewno trafia na nie wiele osób, które szukają coś o splocie. Ja je znalazłem przez Google. Znacie może stronę/ książkę, gdzie jest trochę zadanek na splot (najlepiej z odpowiedziami, niekoniecznie z rozwiązaniami)?
W stylu "mamy zmienną X, Y o jakichś rozkładach. Oblicz rozkład Z=X+Y, korzystając ze splotu."

Gdzie nie spojrzeć w Internecie (w tym ang.) zadania dla rozkładów jednostajnych [0,1] oraz wykładniczego... Mam wrażenie, że wykładowcy i autorzy opracowań idą na skróty spisując od innych.

Pozdrowienia.

[liu]

Policz sobie gęstość rozkładu sumy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n X_i^2}\), gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) mają rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0, 1)}\) i są niezależne. To też książkowe zadanie, ale wychodzą trochę mniej trywialne rachunki.

Większość zadań w książkach to przykłady na jednostajny i wykładniczy, żeby się z tego nie zrobiło zadanie z analizy matematycznej policzenia jakiejś obrzydliwej całki;)