Warunkowa wariancja i kowariancja, dekompozycja wariancji

[mm34639]

Mam problemy z obliczaniem warunkowych wariancji i innych momentów wyższego rzędu

Wyjaśnię na przykładzie o co mi chodzi

Mamy taki sobie złożony rozkład Poissona:
Zmienne \(\displaystyle{ X_i, \; i=1,2,3\ldots}\) są niezależne i mają rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną 1, \(\displaystyle{ N}\) niezależna od nich ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną 3. Niech \(\displaystyle{ S_N=0}\) dla N=0, oraz \(\displaystyle{ S_N=\sum_{i=1}^{N}X_i}\)

Nie ma problemu ze znalezieniem \(\displaystyle{ \mathbb{E}S_N}\), po prostu zauważam, że dla \(\displaystyle{ N=n}\), \(\displaystyle{ S_N \sim \Gamma(n,1)}\) , zatem \(\displaystyle{ \mathbb{E}(S_n)= n}\) i biorę \(\displaystyle{ \mathbb{E}(S_N)=\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{P}(N=n)\cdot n=\sum_{n=0}^{\infty} n \frac{3^n}{n!}e^{-3}=\sum_{n=1}^{\infty} n \frac{3^n}{n!}e^{-3}=3e^{-3}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n-1}}{(n-1)!}=3}\)
To jest w miarę jasne skąd się bierze, bo to jest jakby wzór na prawdopodobieństwo całkowite.
Natomiast schody w pewnym sensie zaczynają się przy obliczaniu \(\displaystyle{ \textrm{Var}(S_N)}\)

Wbrew intuicji \(\displaystyle{ \textrm{Var}(S_N) \neq \mathbb{E}(\textrm{Var} S_N | N=n)=\sum_n\textrm{Var} S_n \cdot \mathbb{P}(N=n)}\)
za to prawdziwy jest jakiś wzór na "dekompozycję wariancji"
\(\displaystyle{ \textrm{Var}S_N=\mathbb{E} \textrm{Var}(S_N|N)+ \textrm{Var}(\mathbb{E}(S_N|N))=\mathbb{E}N+\textrm{Var}N=3+3=6}\)

Zastanawiam się, skąd pochodzi ten wzór. Podobnie, jak znaleźć jego odpowiedniki dla momentów wyższych rzędów - np. w naszym przypadku jak obliczyć np. \(\displaystyle{ \mathbb{E}(S_N-\mathbb{E}(S_N))^4}\)?

A teraz analogiczne pytanie co do kowariancji. Weźmy dodatkowo niezależne zmienne wykładnicze \(\displaystyle{ Y_1,Y_2,\ldots}\) każda o wartości oczekiwanej 2. Niech \(\displaystyle{ T_N=\sum_{i=1}^{N}Y_i}\) lub 0 dla N=0

Chcemy znaleźć kowariancję \(\displaystyle{ S_N}\) i \(\displaystyle{ T_N}\)
I znowu wzór z kosmosu: \(\displaystyle{ \textrm{Cov}(S_N,T_N) = \textrm{Cov}(\mathbb{E}(S_N|N),\mathbb{E}(T_N|N))+\mathbb{E}(\textrm{Cov}(S_N,T_N)|N)}\)
Czy on jest prawdziwy? Mógłby go ktoś skomentować jak on został wyprodukowany? Wygląda podobnie do tego z wariancją, więc zapewne chodzi \(\displaystyle{ \pm}\) o to samo

[miodzio1988]

Zastanawiam się, skąd pochodzi ten wzór.

Wystarczy sobie rozpisać prawą stronę. Wtedy zobaczysz jak się ładnie wyrazy skracają

Skoro zauważyłeś, że:

\(\displaystyle{ S_N \sim \Gamma(n,1)}\)

To dlaczego momentów już nie możesz liczyć tak normalnie mając dany rozkład tej zmiennej losowej? Już Ci w w o nie jest potrzebna

[mm34639]

Ok, wiem już skąd jest dekompozycja wariancji i kowariancji, rozpisałem sobie wprawdzie lewą stronę a nie prawą, ale wszystko się zgadza.