Na każdej lekcji historii nauczyciel pyta trzech losowo wybranych uczniów z klasy 30-osobowej. Oblicz wartośc oczekiwaną liczby uczniów przepytanych w ciągu 10 kolejnych lekcji
a) przynajmniej 1 raz
b) dokładnie 1 raz.
Mam nawet wskazówkę, by zmienną losową X, oznaczającą liczbę oczniów pytanych co najmniej raz przedstawić w postaci sumy niezależnych zmiennych losowych zerojedynkowych (i-ty uczeń nie pytany ani razu, i-ty uczeń pytany co najmniej raz).
Odp: a)19,54, b)11.62
Podpunkt a udało mi się już zrobić, poproszę o pomoc w podpunkcie b.
Wartość oczekiwana liczby uczniów.
-
mm34639
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 61 razy
Wartość oczekiwana liczby uczniów.
Podpunkt b)
Prawdopodobieństwo, że uczeń zostanie wylosowany pewnego ustalonego dnia = 0,1
Prawdopodobieństwo, że przez 10 dni wylosują go dokładnie raz obliczymy ze schematu Bernoulliego:
(10 dni=10 prób, p-stwo sukcesu=0,1)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(N_{10}=1)={10 \choose 1}0,1 \cdot (0,9)^9=0,9^9=\frac{387420489}{1000000000}}\)
Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X_i}\) przyjmie wartość 1 gdy i-ty uczeń wylosowany dokładnie raz, a wartość 0 w przeciwnym razie
Wtedy
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(\sum_{i=1}^{30} X_i)=\sum_{i=1}^{30} \mathbb{E}(X_i)=30 \cdot 0,9^9 = 11.62261467}\)
Prawdopodobieństwo, że uczeń zostanie wylosowany pewnego ustalonego dnia = 0,1
Prawdopodobieństwo, że przez 10 dni wylosują go dokładnie raz obliczymy ze schematu Bernoulliego:
(10 dni=10 prób, p-stwo sukcesu=0,1)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(N_{10}=1)={10 \choose 1}0,1 \cdot (0,9)^9=0,9^9=\frac{387420489}{1000000000}}\)
Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X_i}\) przyjmie wartość 1 gdy i-ty uczeń wylosowany dokładnie raz, a wartość 0 w przeciwnym razie
Wtedy
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(\sum_{i=1}^{30} X_i)=\sum_{i=1}^{30} \mathbb{E}(X_i)=30 \cdot 0,9^9 = 11.62261467}\)
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2011, o 12:36 przez mm34639, łącznie zmieniany 1 raz.
Wartość oczekiwana liczby uczniów.
W końcu też doszłam do poprawnego wyniku, ale dużo bardziej pokrętnym sposobem, a ten podany przez Ciebie, jest dużo łatwiejszy, więc dziękuję bardzo