Problem z gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej.

[Mariano3]

Witam,

Dana jest funkcja:
\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} c\ \ dla -1<x<2,\ \, 0<y<1\\0 \ \ dla \ pozostałych \ (x,y)\end{cases}}\)


Wyznaczyć tak stałą c, aby funkcja była gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej.

Zadanie z egzaminu "odtworzone" z pamięci, na którym się zawiesiłem. W jaki sposób dobrać się do tego od tej strony ? Przeglądnąłem już forum, ale aktualne wytłumaczenia nie są dla mnie zrozumiałe.

[yorgin]

Szukasz takiego \(\displaystyle{ c}\), by

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}^2}f(x,y)dxdy= \int_{-1}^{2} \int_{0}^{1}cdydx=1}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ c=\frac{1}{3}}\)

[Mariano3]

To wiem z własności f. gęstości. Ale w jaki sposób to c znaleźć ?

[yorgin]

Policzyć całkę?

[Mariano3]

Semestr analizy z całkami jakby to powiedzieć "opuściłem" .
Całkowania uczyłem się na własną rękę i akurat za to nie wiem jak się zabrać.

Mógłbyś mi to rozpisać ?

[yorgin]

No trudno, więcej pisania jak myślenia, ale niech Ci będzie...

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}^2}f(x,y)dxdy= \int_{-1}^{2} \int_{0}^{1}cdydx=
c\int_{-1}^{2} \int_{0}^{1}dydx=\\
c\int_{-1}^2y\big{|}_0^1dx=\\
c\int_{-1}^2dx=c x\big{|}_{-1}^2=3c}\)

Nie ma prostszych całek jak całki z funkcji stałych.

[Mariano3]

Cholera, faktycznie proste.
I co gorsza, wiedziałem, że tak się wyciąga stałą, ale nie wpadłem na to do tej pory .


Dzięki yorgin,
pozdrawiam