Rachunek prawdopodobieństwa

[pingus18]

Proszę o pomoc z następującym zadaniem:


Spośród 100 losów 4 wygrywają.Kupiono 5 losów, oblicz prawdopodobieństwo,że:
a) 2 losy będą wygrane
b) przynajmniej 1 los będzie wygrany

Bardzo proszę o wszelaką pomoc, bo jestem w tym temacie jeszcze ciemny

[Erurikku]

\(\displaystyle{ \Omega = {100 \choose 5} \\
A = {96 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \\
P(A) = \frac{A}{\Omega} \\
B' = {96 \choose 5} \\
P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{B'}{\Omega}}\)

Wyjaśnienie. \(\displaystyle{ \Omega}\) (przestrzeń zbiorów - wszystkie możliwości) - losujemy 5 losów ze stu.
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie polegające na wylosowaniu 3 przegrywających (z 96) i 2 wygrywających (z 4) losów.
\(\displaystyle{ B'}\) - zdarzenie polegające na wylosowaniu samych przegranych losów. Obliczając je obliczymy w najłatwiejszy sposób kiedy zdarza się :
\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie polegające na wylosowanie co najmniej 1 wygranego losu.

Pozdrawiam.

[Lbubsazob]

a) \(\displaystyle{ 5}\) losów ze \(\displaystyle{ 100}\) można wybrać na \(\displaystyle{ {100 \choose 5}}\) sposobów.
Mają być dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) wygrywające, czyli wybieramy \(\displaystyle{ 2}\) z \(\displaystyle{ 4}\) wygrywających i \(\displaystyle{ 3}\) z pozostałych \(\displaystyle{ 96}\), ostatecznie \(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot {96 \choose 3}}\).

b) Tutaj można policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, czyli że żaden los nie będzie wygrany. Losujemy \(\displaystyle{ 5}\) z \(\displaystyle{ 96}\) losów, czyli \(\displaystyle{ {96 \choose 5}}\).

-- 20 wrz 2011, o 23:35 --

Ups, jak zwykle post się za długo wysyłał...

[pingus18]

Czyli to tylko tyle z rozwiązania?

[Lbubsazob]

Jeszcze na koniec musisz prawdopodobieństwo obliczyć podstawiając do wzoru, bo znasz \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}\) i \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}}\).

[Erurikku]

No..... musisz obliczyć te dwumiany Newtona by dostać ładne wyniki w postaci nieskracalnego ułamka.

----EDIT 23:50---
teraz to ja się spóźniłem

[pingus18]

Czyli nie zabardzo zostawiać w takiej postaci te liczby tylko rozwiazać przy pomocy dwumianu Newtona?

[Erurikku]

Oczywiście, że tak.
Matematyka zawsze dąży by uzyskiwać najprostsze i najelegantsze wyniki.

[pingus18]

Ok jakoś sobie więc poradzę

Więc obliczam: \(\displaystyle{ P(A) i P(B)}\)?

[Lbubsazob]

Zależy, czym u Ciebie jest \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ A}\) - możliwości kupienia 2 losów wygrywających, \(\displaystyle{ B}\) - możliwości kupienia co najmniej jednego losu wygrywającego, to liczysz \(\displaystyle{ P(A)}\), potem \(\displaystyle{ P(B')}\) i znając \(\displaystyle{ P(B')}\) obliczysz \(\displaystyle{ P(B)=1-P(B')}\).

[Erurikku]

pingus18, w moim pierwszym poście w tym temacie jest cały schemat pokazany.
Przyjrzyj się uważnie.

[pingus18]

Jezu licze i licze te silnie i takie kosmiczne mi liczby wychodzą więc nie wiem w jakiej to zostawić postaci...
Jakieś sugestie?

[Lbubsazob]

No niestety wychodzą kosmiczne liczby, np. w przykładzie a) \(\displaystyle{ {100 \choose 5}=75287520}\), a \(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot {96 \choose 3}=857280}\), czyli \(\displaystyle{ P(A)= \frac{857280}{75287520}}\). Można bawić się w nieskończoność w skracanie, ale też chyba głowy Ci nie urwą, jak napiszesz, że prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{ {4 \choose 2} \cdot {96\choose 3} }{{100 \choose 5}}= \frac{ \frac{3 \cdot 4}{2} \cdot \frac{94 \cdot 95 \cdot 96}{6} }{ \frac{96 \cdot 97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100}{120} }= \frac{3 \cdot 4 \cdot 10 \cdot 94 \cdot 95}{97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100}}\), pewnie kalkulatory dozwolone na maturze nie wyświetlą takich liczb.

[pingus18]

Aha, dziękuję za podpowiedź, też właśnie tak robiłem

[pietrus]

Z całym szacunkiem.
Czy myślisz, że autor zadania maturalnego tak skomplikował rozwiązanie?!
Przecież On zna wynik i delikatnie mówiąc z niedowierzaniem kręci przecząco głową.

Wyrażam tu swoje błogie życzenie: "Niechże ktoś wreszcie pokaże maturzystom jak powinno wyglądać rozwiązane zadania i jaki jest prawidłowy wynik".