prawdopodobieństwo, wartość oczekiwana

[me123]

Wybieramy losowo element ze zbioru {\(\displaystyle{ (x,y): x,y \in N \wedge 1 \le x \le n \wedge 1 \le y \le n}\)} \(\displaystyle{ n \in N}\) Niech X oznacza pole prostokąta o bokach równoległych do osi układu współrzędnych, których dwoma przeciwległymi wierzchołkami są wybrany punkt oraz środek układu współrzędnych. Oblicz wartość oczekiwaną.

[trawiasty]

Pozwolę sobie trochę zmienić oznaczenia:
\(\displaystyle{ X}\) - zmienna losowa odpowiadająca współrzędnej punktu na osi X
\(\displaystyle{ Y}\) - zmienna losowa odpowiadająca współrzędnej punktu na osi Y
\(\displaystyle{ P}\) - pole prostokąta

Zmienne \(\displaystyle{ X, Y}\) mają rozkład jednostajny dyskretny.
Pole wyraża się wzorem \(\displaystyle{ P=X\cdot Y}\)
Ponieważ zmienne \(\displaystyle{ X, Y}\) są niezależne, to zachodzi:
\(\displaystyle{ E(P)=E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)=E(X)^{2}}\)

[me123]

co to oznacza, że

Zmienne mają rozkład jednostajny dyskretny.

?
to zadanie z liceum
i jeszcze czy \(\displaystyle{ E(X) ^{2}=( \frac{n+1}{2}) ^{2}}\)?

[trawiasty]

To oznacza mniej więcej tyle, że zmienna może przyjmować skończenie wiele różnych wartości i każda z nich jest jednakowo prawdopodobna

Tak, ta równość jest prawdziwa.

[me123]

to jeszcze chyba najistotniejsze pytanie dlaczego \(\displaystyle{ E(X) \cdot E(Y)=E(X) ^{2}}\)?

[trawiasty]

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają ten sam rozkład (takie same prawdopodobieństwa dla takich samych wartości) z czego wynika, że: \(\displaystyle{ E(Y)=E(X)}\)
Można więc sobie uprościć, choć nie jest to konieczne.

[me123]

ok, dziękuję zatem:)