Witam, niestety nie posiadam odpowiedzi do podanego zadania, wiec prosiłbym o zweryfikowanie czy dobrze je rozwiązałem.
Gęstość zmiennej losowej ciągłej wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0\ dla\ |x|>2 \\ c \ dla\ |x|\leqslant 2 \end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ Y= X^{2}}\)
Ile wynosi \(\displaystyle{ E( c^{2}Y )}\)
i tak na szybko moje gotowe rozwiązania:
\(\displaystyle{ c= \frac{1}{4}}\)
Gęstość k(y) zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y= X^{2}}\) to:
\(\displaystyle{ k(y)= \begin{cases} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y} } \ dla \ y \in (0,4) \\ 0 \ dla innych \ y\end{cases}}\)
Teraz \(\displaystyle{ E( c^{2}Y )=E( \frac{1}{16}Y )= \frac{1}{16}EY}\)
\(\displaystyle{ EY=\int_{0}^{4} \frac{1}{4 \sqrt{y} }ydy= \frac{4}{3}}\)
czyli ostatecznie \(\displaystyle{ E( c^{2}Y )= \frac{1}{12}}\)
Z góry dzięki za sprawdzenie i wskazanie błędów.
Funkcja zmiennej losowej i wartość oczekiwana
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 18 wrz 2011, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Funkcja zmiennej losowej i wartość oczekiwana
Obliczenia są poprawne. Zadanie można jednak policzyć znacznie szybciej, bez wyliczania rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ Y=X^2}\).
Wykorzystujesz wzór:
\(\displaystyle{ E(g(X))= \int_\mathbb{R}g(x)f(x)dx}\)
czyli
\(\displaystyle{ EY=EX^2= \int_\mathbb{R}x^2f(x)dx=\frac{1}{4} \int_{-2}^{2}x^2dx =\frac{4}{3}}\)
Niemniej Twoje rozwiązanie jest bezbłędne.
Wykorzystujesz wzór:
\(\displaystyle{ E(g(X))= \int_\mathbb{R}g(x)f(x)dx}\)
czyli
\(\displaystyle{ EY=EX^2= \int_\mathbb{R}x^2f(x)dx=\frac{1}{4} \int_{-2}^{2}x^2dx =\frac{4}{3}}\)
Niemniej Twoje rozwiązanie jest bezbłędne.