Funkcja zmiennej losowej i wartość oczekiwana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
NeverCracker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 18 wrz 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Funkcja zmiennej losowej i wartość oczekiwana

Post autor: NeverCracker »

Witam, niestety nie posiadam odpowiedzi do podanego zadania, wiec prosiłbym o zweryfikowanie czy dobrze je rozwiązałem.

Gęstość zmiennej losowej ciągłej wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0\ dla\ |x|>2 \\ c \ dla\ |x|\leqslant 2 \end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ Y= X^{2}}\)
Ile wynosi \(\displaystyle{ E( c^{2}Y )}\)

i tak na szybko moje gotowe rozwiązania:
\(\displaystyle{ c= \frac{1}{4}}\)

Gęstość k(y) zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y= X^{2}}\) to:
\(\displaystyle{ k(y)= \begin{cases} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y} } \ dla \ y \in (0,4) \\ 0 \ dla innych \ y\end{cases}}\)

Teraz \(\displaystyle{ E( c^{2}Y )=E( \frac{1}{16}Y )= \frac{1}{16}EY}\)

\(\displaystyle{ EY=\int_{0}^{4} \frac{1}{4 \sqrt{y} }ydy= \frac{4}{3}}\)
czyli ostatecznie \(\displaystyle{ E( c^{2}Y )= \frac{1}{12}}\)

Z góry dzięki za sprawdzenie i wskazanie błędów.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Funkcja zmiennej losowej i wartość oczekiwana

Post autor: yorgin »

Obliczenia są poprawne. Zadanie można jednak policzyć znacznie szybciej, bez wyliczania rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ Y=X^2}\).

Wykorzystujesz wzór:

\(\displaystyle{ E(g(X))= \int_\mathbb{R}g(x)f(x)dx}\)

czyli

\(\displaystyle{ EY=EX^2= \int_\mathbb{R}x^2f(x)dx=\frac{1}{4} \int_{-2}^{2}x^2dx =\frac{4}{3}}\)

Niemniej Twoje rozwiązanie jest bezbłędne.
ODPOWIEDZ