Mam funkcję gęstości zmiennej losowej\(\displaystyle{ X}\)
Za zadanie mam znaleźć A
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0, \left| x\right| < 1 \\ \frac{A}{x^{4}}, \left| x \right| \ge 1 \end{cases}}\)
Wykorzystuje własność funkcji gęstości
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{1} dx + \int_{1}^{\infty} \frac{A}{x^{4}} dx = 1 + \infty +\left[ A\comt \frac{-1}{3}\comtx^{-3} \right]^{\infty} dolna1 = \infty + 1 - 3A}\)
Z własności funkcji gęstości przyrównuje współczynnik z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ 1}\) i teraz pytanie mam przyrównać cały wynik drugiej całki czy tylko \(\displaystyle{ A}\) ze współczynnikiem, gdy przyrównam cały wynik wychodzi \(\displaystyle{ A= 0}\), a jeśli samo \(\displaystyle{ A}\) to wynik bardziej do przyjęciaj w postaci \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}}\)
wyznaczyć wartość A
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
wyznaczyć wartość A
Początkowy zapis jest już nieprawidłowy.
Mamy \(\displaystyle{ 1=\int_{-\infty}^{-1}\frac{A}{x^4}dx+\int_{-1}^10dx+\int_1^{+\infty}\frac{A}{x^4}dx=\lim_{t\to -\infty}\int_t^{-1}\frac{A}{x^4}dx+\lim_{u\to +\infty}\int_1^u\frac{A}{x^4}dx=\lim_{t\to -\infty}\left[-\frac{A}{3x^3}\right]_t^{-1}+\lim_{u\to +\infty}\left[-\frac{A}{3x^3}\right]_1^u=\frac{A}{3}+\frac{A}{3}}\), więc \(\displaystyle{ A=\frac{3}{2}}\).
Mamy \(\displaystyle{ 1=\int_{-\infty}^{-1}\frac{A}{x^4}dx+\int_{-1}^10dx+\int_1^{+\infty}\frac{A}{x^4}dx=\lim_{t\to -\infty}\int_t^{-1}\frac{A}{x^4}dx+\lim_{u\to +\infty}\int_1^u\frac{A}{x^4}dx=\lim_{t\to -\infty}\left[-\frac{A}{3x^3}\right]_t^{-1}+\lim_{u\to +\infty}\left[-\frac{A}{3x^3}\right]_1^u=\frac{A}{3}+\frac{A}{3}}\), więc \(\displaystyle{ A=\frac{3}{2}}\).