Rozkład wykładniczy

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Soscean
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 13 wrz 2011, o 13:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Rozkład wykładniczy

Post autor: Soscean »

Witam!

Nie ukrywam, że przydałaby mi się pomoc w rozwiązaniu tego zadania:

Przyjmijmy, że czas bezawaryjnej pracy baterii pewnego urządzenia ma rozkład wykładniczy o średniej 100 godzin. Po wyczerpaniu bateria od razu jest wymieniana na nową. Obliczyć z prawdopodobieństwem 0,99, ile baterii trzeba mieć w zapasie aby zapewnić bezawaryjną pracę urządzenia przez 90 dni.

Z góry dzięki za wszelkie odpowiedzi.
Awatar użytkownika
mm34639
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 61 razy

Rozkład wykładniczy

Post autor: mm34639 »

Lepiej późno niż wcale:

90 dni = 2160 godzin

Baterie psują się niezależnie od siebie

Niech \(\displaystyle{ X_i}\) oznacza czas działania \(\displaystyle{ i}\)-tej baterii
\(\displaystyle{ X_i \sim \textrm{exp}(\frac{1}{100})}\)
zatem \(\displaystyle{ X_1+\ldots+X_n \sim \textrm{Gamma}(n,\frac{1}{100})}\) o gęstości \(\displaystyle{ f_n(t)=\frac{\frac{1}{100^n}}{\Gamma(n)}t^{n-1}e^{-\frac{1}{100}t}}\)
\(\displaystyle{ \Gamma(n)}\) to funkca gamma Eulera, dla n=1,2,3,... \(\displaystyle{ \Gamma(n)=(n-1)!}\)
Chcemy znaleźć najmniejsze całkowite \(\displaystyle{ n}\) takie, że

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2160}f_n(t) \textrm{d}t<0,01}\)

bierzemy Wolfram Alpha czy coś , i sprawdzamy:

dla n=20 całka = ok 0.6637
dla n=30 całka = ok 0,05
dla n=40 całka = ok 0,00025 , to za mało

dla n=35 całka = ok. 0,004
dla n=32 całka = ok. 0,0213 (ciepło, ciepło )
dla n=33 całka = ok. 0,0134
dla n=34 całka = ok. 0,0081
uff...

odpowiedź: potrzebne są 34 baterie

jako że rachunki skomplikowane, nie gwarantuję że jest 100% dobrze... ; )
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Rozkład wykładniczy

Post autor: mkb »

Można też skorzystać z faktu, że rozkład Poissona przedstawia rozkład liczby awarii w czasie \(\displaystyle{ T}\), jeżeli zajście awarii ma rozkład wykładniczy z intensywnością \(\displaystyle{ \beta}\), parametr rozkładu Poissona wynosi \(\displaystyle{ \lambda = \beta T=21,6}\).
Prawdopodobieństwo pracy bez wymiany baterii wynosi \(\displaystyle{ P(n=0)= e^{-\lambda}}\), dalej rekurencyjnie: \(\displaystyle{ P(n=k+1)=P(n=k) \frac{\lambda}{k+1}}\), sumujemy w arkuszu aż osiągniemy \(\displaystyle{ 0,99}\). Mi wyszło przy \(\displaystyle{ 33}\) zapasowych bateriach
ODPOWIEDZ