rozkład wektora losowego

[paola-91]

Witam wszystkich!
To jest mój pierwszy post na stronie matematyka.pl dlatego z góry przepraszam jeśli w złym miejscu umieściłam moje zadanie. Oto ono:

Przeprowadzamy dwie próby Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym 1/4. Niech X oznacza liczbę sukcesów, a Y - kwadrat liczby sukcesów.
1. wyznacz rozkład wektora losowego (X,Y)
2. wyznacz wartość wszystkich kwartyli zmiennej losowej Y
3. wyznacz współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y
4. czy zmienne losowe X i y są niezależne?

Czy potrafi mi ktoś pomóc?

[yorgin]

Zacznijmy od rozkładu X i Y, te również się przydadzą.

\(\displaystyle{ P(X=0)=\frac{9}{16}=P(Y=0)\\
P(X=1)=\frac{6}{16}=P(Y=1)\\
P(X=2)=\frac{1}{16}=P(Y=4)}\)

Stąd od razu widać, że zmienne są zależne, ponieważ

\(\displaystyle{ P(X=0,Y=0)=\frac{9}{16}\neq \frac{9}{16}\cdot \frac{9}{16}=P(X=0)\cdot P(Y=0)}\)

Macierz rozkładu wektora wygląda mniej więcej tak:

\(\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} & X=0 & X=1 & X=2\\ \hline
Y=0 & 9/16 & 0 & 0 \\
Y=1 & 0 & 6/16 & 0\\
Y=2 & 0 & 0 & 1/16 \end{array}}\)
W każdej komórce jest oczywiście wartość

\(\displaystyle{ P(X=i, Y=j), i=0,1,2, j=0,1,4}\)

Kwartyle wyznaczysz łatwo na podstawie wypisanego przeze mnie rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ Y}\).

A współczynnik korelacji: wzór kojarzysz zapewne:

\(\displaystyle{ cor(X,Y)=\frac{E[(X-\mu_x)(Y-Y_\mu)]}{\sigma_X\sigma_Y}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mu_X}\) to wartość średnia zmiennej \(\displaystyle{ X}\), natomiast \(\displaystyle{ \sigma_X}\) to odchylenie standardowe.

Troszkę rachunków i poradzisz sobie

[paola-91]

ślicznie dziękuję właśnie z rozkładem miałam problem, a teraz to już bez problemu to powyliczam