Własności prawdopodobieństwa

[aniaaa1990]

Cześć

Mam zadanie:

Założenia: \(\displaystyle{ P(A)>0, P(B)>0}\)
Zadanie: Wykazać, że \(\displaystyle{ P(A|B)>P(A) \iff P(B|A')<P(B|A)}\)

No to teraz rozpisuje:

Lewa strona:
\(\displaystyle{ \frac{P(A \cap B)}{P(B)}>P(A) \\
P(A \cap B)>P(A)P(B)}\)

Prawa strona:
\(\displaystyle{ P(B|A')<P(B|A) \\
\frac{P(B \cap A')}{P(A')}<\frac{P(B \cap A)}{P(A)} \\
\frac{P(B \backslash A)}{1-P(A)}<\frac{P(B \cap A)}{P(A)} \\
P(B)-P(A)<\frac{P(B \cap A)}{P(A)}(1-P(A)) \\
P(B)-P(A)<\frac{P(B \cap A)}{P(A)} - P(A \cap B)}\)

No i teraz nie mam pomysłu jak to dalej pociągnąć - wydaje się, że wszystko dobrze rozpisuję ale nie mogę tego poskładać, żeby pasowało do strony lewej .
Macie może jakiś pomysł?

[Qń]

Na ogół nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ P(B \setminus A)=P(B)-P(A)}\)

Wskazówka:
\(\displaystyle{ P(A \cap B) +P(A' \cap B)=P(B)}\)

Q.

[fon_nojman]

\(\displaystyle{ \frac{P(B \backslash A)}{1-P(A)}<\frac{P(B \cap A)}{P(A)} \\ P(B)-P(A)<\frac{P(B \cap A)}{P(A)}(1-P(A))}\)

Nie zachodzi wzór \(\displaystyle{ P(B \setminus A)=P(A)-P(B).}\)

W jedną stronę. Załóżmy, że \(\displaystyle{ P(A|B)>P(A).}\) Tak jak rozpisałaś zachodzi wtedy \(\displaystyle{ (1)\ P(A \cap B)>P(A)P(B).}\) Rozpisujemy \(\displaystyle{ P(B|A').}\)

\(\displaystyle{ P(B|A')=\frac{P(B \cap A')}{P(A')}=\frac{P(B \cap (A' \cup B'))}{P(A')}=\frac{P(B)-P(A \cap B)}{P(A')}\stackrel{(1)}{<}\frac{P(B)-P(A)P(B)}{P(A')}=P(B)\frac{1-P(A)}{P(A')}=P(B)\stackrel{(1)}{<}\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=P(B|A).}\)

[aniaaa1990]

Na ogół nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ P(B \setminus A)=P(B)-P(A)}\)

Wskazówka:
\(\displaystyle{ P(A \cap B) +P(A' \cap B)=P(B)}\)

Q.

\(\displaystyle{ P(B|A')<P(B|A) \\
\frac{P(B \cap A')}{P(A')}<\frac{P(B \cap A)}{P(A)} \\
\frac{P(B)-P(A \cap B)}{1-P(A)}<\frac{P(B \cap A)}{P(A)} \\
P(A)(P(B)-P(B \cap A))<P(B \cap A)(1-P(A)) \\
P(A)P(B)-P(A)P(B \cap A)<P(B \cap A)-P(B \cup A)P(A) \\
P(B \cup A)>P(A)P(B) \iff P(A \cup B)>P(A)P(B) \\}\)

Tak jest dobrze?

\(\displaystyle{ P(B|A')=\frac{P(B \cap A')}{P(A')}=\frac{P(B \cap (A' \cup B'))}{P(A')}=\frac{P(B)-P(A \cap B)}{P(A')}\stackrel{(1)}{<}\frac{P(B)-P(A)P(B)}{P(A')}=P(B)\frac{1-P(A)}{P(A')}=P(B)\stackrel{(1)}{<}\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=P(B|A).}\)

To rozwiązanie wydaje mi się trochę trudniejsze no i w dwie strony trzeba, a tak jak rozpisałam ze wskazówki to też jest też dobrze?

[Qń]

Tak, teraz jest ok, tylko przydałaby się szczypta komentarzy.

Q.

[aniaaa1990]

Komentarze dopiszę na egzaminie .

Teraz wystarczy, że mam dobrze zadanie, dzięki za pomoc chłopaki

[fon_nojman]

\(\displaystyle{ P(A)(P(B)-P(B \cap A))<\underline{P(B \cap A)}(1-P(A)) \\ P(A)P(B)-P(A)P(B \cap A)<P(B \cap A)-\underline{P(B \cup A)}P(A)}\)

Dlaczego \(\displaystyle{ P(B \cap A)}\) nagle zamieniło się w \(\displaystyle{ P(B \cup A)}\)?

[aniaaa1990]

Literówka .

Powinno być tak:

\(\displaystyle{ P(B|A')<P(B|A) \\
\frac{P(B \cap A')}{P(A')}<\frac{P(B \cap A)}{P(A)} \\
\frac{P(B)-P(A \cap B)}{1-P(A)}<\frac{P(B \cap A)}{P(A)} \\
P(A)(P(B)-P(B \cap A))<P(B \cap A)(1-P(A)) \\
P(A)P(B)-P(A)P(B \cap A)<P(B \cap A)-P(B \cap A)P(A) \\
P(B \cap A)>P(A)P(B) \iff P(A \cap B)>P(A)P(B) \\}\)

Teraz chyba wszystko gra

[fon_nojman]

Jest ok i rzeczywiście krócej