Własności prawdopodobieństwa

[kamil13151]

Zdarzenia A i B spełniają warunki \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3}}\), \(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{1}{5}}\), \(\displaystyle{ P(A|B')= \frac{1}{2}}\). Oblicz \(\displaystyle{ P(B)}\). Czy zdarzenia A i B się wykluczają?

[ares41]

\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\P(A|B')= \frac{P(A \cap B')}{P(B')}=\frac{P(A \cap B')}{1-P(B)}}\)
Z pierwszego wyznaczamy \(\displaystyle{ P(B)}\) i wstawiamy do drugiego:
\(\displaystyle{ P(A|B')=\frac{P(A \cap B')}{1- \frac{P(A \cap B)}{ P(A|B)}}= \frac{P(A \cap B') \cdot P(A|B) }{P(A|B)-P(A \cap B)}}\).
Z kolei:
\(\displaystyle{ P(A \cap B)+P(A \cap B')=P[(A \cap B) \cup (A \cap B')]=P[A \cap (B \cup B')]=P(A \cap \Omega)=P(A)}\).
Mamy więc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}P(A|B')= \frac{P(A \cap B') \cdot P(A|B) }{P(A|B)-P(A \cap B)}\\P(A \cap B)+P(A \cap B') =P(A) \\P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\end{cases}}\)
Z tego wyznaczamy szukane \(\displaystyle{ P(B)}\).