Dowieść, że jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A,B,C}\) są niezależne oraz \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C) = 1}\), to \(\displaystyle{ P(A) = 1}\) lub \(\displaystyle{ P(B) = 1}\) lub \(\displaystyle{ P(C)=1}\).
\(\displaystyle{ P(A\cup B\cup C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P( A \cap B \cap C)}\)
\(\displaystyle{ 1=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)\cdot P(B)-P(A) \cdot P(C)-P(B) \cdot P(C)+P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)}\)
\(\displaystyle{ 1 = P(A) + P(B) + P(C)-P(A)[P(B)-P(C)] - P(B) \cdot P(C) + P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)}\)
i nie wiem co dalej. domyślam się,że muszę dojść do czegoś w stylu:
\(\displaystyle{ 1 - P(A) = 0}\) czyli \(\displaystyle{ P(A) = 1}\) i tak samo z \(\displaystyle{ P(B)}\) i \(\displaystyle{ P(C)}\).
prosze o pomoc.
