wartośc minimalna i wartośc oczekiwana

[rbt]

Witam!
Mam problem z obliczeniem następującego wyrażenia dot. zmiennych niezależnych:
\(\displaystyle{ \min_ \\t}\)\(\displaystyle{ E(X(1-2Y)-t) ^{2}}\)

Nie wiem czy może coś źle robię, ale oto mój algorytm:
1) Obliczam wyrażenie w nawiasie.
2) Z uzyskanych wartość grupuję na te z litera t
3) Wykorzystuje własność wartości oczekiwanej dla zmiennych niezależnych
4) Uzyskuję w ten sposób z wartości stojących obok t wzór kwadratowy.
5) Obliczam wartości t1 i t2
6) Wyznaczam \(\displaystyle{ t=min\{t1,t2\}}\)

Prośba o czyjeś rozwiązanie jeśli dało by radę. Lub ogólnie jakieś wyjaśnienie co robię źle.

[Kartezjusz]

Algorytm jest dobry.Wykorzystam go w ogólnej sytuacji
Mamy zmienną losową X n-wymiarową
Chcę policzyć minimum \(\displaystyle{ E(X-t)^{2}}\)
W tym celu robię 1,2)likwiduję nawias i grupuję wyrażenia
\(\displaystyle{ E(X^{2}-2EXt+t^{2})}\)
Następnie 3) liniowość wartości oczekiwanej i wartość oczekiwana ze stałej
\(\displaystyle{ EX^{2}-2tEX+t^{2}}\)
4,5)wyznaczam minimum tej funkcji kwadratowej,czyli nie miejsca zerowe!!!!
min=\(\displaystyle{ f(\frac{-b}{2a}}\)ono istnieje,bo współczynnik przy \(\displaystyle{ t^{2}}\)jest dodatni
min=f(EX)=\(\displaystyle{ EX^{2}-(EX)^{2}=D^{2}X}\),czyli musisz policzyć wariancję t zmiennej przed minusem...

[rbt]

dzięki za odpowiedz kartezjusz

jednak trochę się za bardzo gubię jesli w tym zadaniu chodzi o 2 zmienne:
uzyskuję takie coś:
\(\displaystyle{ E(X^{2})+4E(X^{2}Y^{2})-2E(X^{2}Y)+E(t^{2})+4E(XYt)-2E(Xt)}\)

Czy wynikiem nie powinna być w tym wypadku kowariancja?
Gdyż mi wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ t= \frac{4E(XY)-2E(x)}{2}=2E(XY)-E( X )}\) a raczej temu wyrażeniu brakuje do kowariacji E(Y)

Czy gdzieś popełniam błąd?

[Lider Artur]

uzyskuję takie coś:
\(\displaystyle{ E(X^{2})+4E(X^{2}Y^{2})-2E(X^{2}Y)+E(t^{2})+4E(XYt)-2E(Xt)}\)

Przelicz jeszcze raz współczynnik przy \(\displaystyle{ E(X^{2}Y)}\)

[rbt]

uzyskuję takie coś:
\(\displaystyle{ E(X^{2})+4E(X^{2}Y^{2})-2E(X^{2}Y)+E(t^{2})+4E(XYt)-2E(Xt)}\)

Przelicz jeszcze raz współczynnik przy \(\displaystyle{ E(X^{2}Y)}\)

Rzeczywiście powinno być \(\displaystyle{ E(X^{2})+4E(X^{2}Y^{2})-4E(X^{2}Y)+E(t^{2})+4E(XYt)-2E(Xt)}\)

ale to chyba nie ma decydującego wpływu na wynik a chodzi mi właśnie o niego. Czy wynik podany przeze mnie jest poprawny, jeśli nie to jaki powinien być?