Zbieżność p.n.

[kolegasafeta]

\(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) - rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [-1,1]}\)

Czy ciąg \(\displaystyle{ a_n= \frac{X_1+X_2^2+...+X_n^n}{n}}\) jest zbieżny prawie na pewno ?

[fon_nojman]

Nie. Weźmy np. przestrzeń probabilistyczną \(\displaystyle{ \Omega=[-1,1]}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P=\frac{\lambda}{2}, \lambda-}\) miara Lebesgue'a na zbiorach borelowskich oraz zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{2n-1}(\omega)=\omega, X_{2n}(\omega)=\omega, \omega\in [-1,0], X_{2n}(\omega)=\omega-1, \omega\in (0,1]}\) łatwo pokazać, że wtedy zbieżności p.p. nie mamy.

Do zbieżności p.p. potrzebny jest dodatkowy warunek np. niezależność.

[kolegasafeta]

OK, ale nie powinna być trochę inna ta zmienna \(\displaystyle{ X_{2n}}\) ? Np \(\displaystyle{ X_{2n}=1-w}\) dla \(\displaystyle{ w \in [0,1]}\) ? Bo tak jak jest teraz, to nie ma rozkładu jednostajnego na \(\displaystyle{ [-1,1]}\)...

[fon_nojman]

Tak, \(\displaystyle{ X_{2n}=1-w, w \in (0,1].}\)

[kolegasafeta]

Teraz głupie pytanie, ale byłbym wdzięczny za odpowiedź. Dlaczego \(\displaystyle{ X_{2n}}\) i \(\displaystyle{ X_{2n-1}}\) nie są niezależne?

[fon_nojman]

Np. \(\displaystyle{ P((X_{2n},X_{2n-1})\in (0,1))=\frac{1}{2} \neq \frac{1}{4}=P(X_{2n}\in (0,1))P(X_{2n-1}\in (0,1)).}\)