Witam. Mam takie zadanie z rachunku prawdopodobieństwa. Z racji tego, że nie mam żadnych materiałów, z których mógłbym się tego nauczyć, to próbuję robić zadania 'na czuja'. Prosiłbym o uwagi i przede wszystkim sprawdzenie, czy mój tok rozumowania jest poprawny.
Treść zadania:
Z ustalonego zbioru \(\displaystyle{ n}\) liczb rzeczywistych losujemy kolejno \(\displaystyle{ k}\) liczb, otrzymując ciąg różnowartościowy \(\displaystyle{ (a_{1},...,a_{k})}\). Zakładając, że \(\displaystyle{ 2 \le k \le n}\), oblicz prawdopodobieństwo, że ten ciąg nie jest ciągiem rosnącym.
Moje rozwiązanie:
Wiedząc, ze ciąg \(\displaystyle{ (a_{1},...,a_{k})}\) jest różnowartościowy możemy wykluczyć, że jakieś dwie wartości się powtórzą. Wobec tego mamy \(\displaystyle{ k!}\) różnych permutacji. Jedna z tych permutacji daje ciąg rosnący. Dlatego też każda inna permutacja da nam ciąg nierosnący. Więc prawdopodobieństwo zdarzenia, że ciąg jest nierosnący wynosi \(\displaystyle{ \frac{k! - 1}{k!}}\).
Jest to zadanie z konkursu i wydaje mi się, że poszło aż nazbyt łatwo. Proszę o sprawdzenie.
Dzięki i pozdrawiam
Oblicz prawdopodobieństwo, że ciąg nie będzie rosnący.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Oblicz prawdopodobieństwo, że ciąg nie będzie rosnący.
Jest OK.
Można to zapisać jako:
\(\displaystyle{ P(A)= 1-\frac{C^{k}_{n}}{V^{k}_{n}}}\)
\(\displaystyle{ C^{k}_{n}}\) - ilość wszystkich możliwych podzbiorów (z każdego z nich zawsze można utworzyć ciąg rosnący, czyli jest to także ilość wszystkich możliwych ciągów rosnących) - kombinacja
\(\displaystyle{ V^{k}_{n}}\) - ilość wszystkich możliwych ciągów - wariacja bez powtórzeń
Można to zapisać jako:
\(\displaystyle{ P(A)= 1-\frac{C^{k}_{n}}{V^{k}_{n}}}\)
\(\displaystyle{ C^{k}_{n}}\) - ilość wszystkich możliwych podzbiorów (z każdego z nich zawsze można utworzyć ciąg rosnący, czyli jest to także ilość wszystkich możliwych ciągów rosnących) - kombinacja
\(\displaystyle{ V^{k}_{n}}\) - ilość wszystkich możliwych ciągów - wariacja bez powtórzeń
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Oblicz prawdopodobieństwo, że ciąg nie będzie rosnący.
Dziękuję
EDIT: Dla czystości sumienia dodam, że konkurs dawno się zakończył - to było zadanie z konkursu o diamentowy indeks AGH.
EDIT: Dla czystości sumienia dodam, że konkurs dawno się zakończył - to było zadanie z konkursu o diamentowy indeks AGH.