Kwantyle rozkładu normalnego

[acmilan]

Powiedzmy, że mamy niezależne zmienne \(\displaystyle{ X, Y}\) o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ \mathcal N\left(0,1\right)}\).
Czyli ich gęstości to \(\displaystyle{ g_{X}\left(t\right)=g_{Y}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} e^{\frac{t^{2}}{2}}}\)
Zmienna \(\displaystyle{ Z=X+Y}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal N\left(0,\sqrt{2}\right)}\) o gęstości
\(\displaystyle{ g_{Z}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2 \pi }} e^{\frac{t^{2}}{2 \left(\sqrt{2}\right)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}g_{X}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)}\)

Chciałbym wiedzieć teraz, który kwantyl rzędu \(\displaystyle{ 0{,}995}\) jest większy - czy rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal N\left(0,1\right)}\) czy \(\displaystyle{ \mathcal N\left(0,\sqrt{2}\right)}\).

\(\displaystyle{ 0{,}995= \int_{-\infty}^{b}g_{Z}\left(t\right) dt = \int_{-\infty}^{b} \frac{1}{\sqrt{2}}g_{X}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) dt=\left[\frac{t}{\sqrt{2}}=s; \ \frac{1}{\sqrt{2}} dt=ds\right]= \int_{-\infty}^{\sqrt{2}b}g_{X}\left(s\right)ds}\)

Czy oznacza to że kwantyl zmiennej \(\displaystyle{ Z}\) jest mniejszy niż zmiennej \(\displaystyle{ X}\)? Wydaje mi się to nienaturalne.

[Chromosom]

Twoje obliczenia są niepełne. Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie kwantylem rzędu \(\displaystyle{ 0.995}\) rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal N(0,1)}\) natomiast \(\displaystyle{ b}\) odpowiednim kwantylem rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal N\left(0,\sqrt2\right)}\), wtedy musi zachodzić

\(\displaystyle{ 0.995=\int\limits^a_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(\frac{x^2}{2}\right)\,\mbox dx\\ \\ 0.995=\int\limits^b_{-\infty}\frac{1}{\sqrt2\sqrt{2\pi}}\exp\left(\frac{y^2}{2\left(\sqrt2\right)^2}\right)\,\mbox dy}\)

dokonaj teraz odpowiedniej zamiany zmiennych w drugiej całce (standaryzacja rozkładu normalnego) i wyznacz wartości \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\)