Znależć rozkład - co dalej?

[rbt]

Witam!
A więc zadanie które robiłęm brzmi tak:
X~\(\displaystyle{ U(0,3)}\). Znajdź rozkład \(\displaystyle{ Y=\min\left\{ X,X^{2}\right\}}\).
Z tego co mam do tej pory wyszło, tyle co nic, czyli:
\(\displaystyle{ P(Y \le t)=P(\min\left\{ X,X^{2}\right\} \le t)=P(X \le t \vee X^{2} \le t)}\)
Próbując to jakos logicznie ogarnąć, wychodziły mi wyniki kosmiczne.
Bynajmniej wiem że Y powinno mieć postać:
\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} X^{2} \Leftrightarrow X \in [0,1] \\ X \Leftrightarrow X \in [1,3] \end{cases}}\)
Teraz chyba powinienem policzyć odpowiednie gęstości. Ale nie wiem z czego...
Prawdopodobnie z \(\displaystyle{ U(0,3)}\) jednak nie wiem o jaki tutaj rozkład chodzi.
Prośba o wyjaśnienie zawiłości, ewentualnie rozwiązanie.

[drunkard]

Właściwie wszystko, co potrzeba już napisałeś, np. że w przedziale <0,1> dystrybuanta

\(\displaystyle{ F \left( y \right) =P \left( Y<y \right) =P \left( X^{2}<y \right) =P \left( X<\sqrt{y} \right) =\frac{\sqrt{y}}{3}}\)

Analogicznie w \(\displaystyle{ \left(1,3\right]}\). A różniczkując dystrybuantę dostajesz gęstość.

[tommasz]

Witam serdecznie.
Własnie miałem problem z praktycznie identycznym zadaniem. Ale nei wiem co w moim rozumowaniu jest źle:
\(\displaystyle{ P(min(X,X^2)<t)=1-P(min(X,X^2)>t)=1-P(X>t)P(X^2>t)=1-(1-P(X<t))(1-P(X< \sqrt(t) ))=... itd.}\)
gdzieś jest źle, a po przeliczeniu wiadomo, że nie wyjdzie układ równań... (tak jak to jest w wyniku)

[Kamil_B]

Zapewne w równości \(\displaystyle{ P(min(X,X^2)>t)=P(X>t)P(X^2>t)}\) postulujesz niezależność zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ X^2}\) (bo dzięki temu można napisać \(\displaystyle{ P(min(X,X^2)>t)=P(X>t,X^2>t)=P(X>t)P(X^2>t)}\)) co nie jest zbyt rozsądne dla podanego rozkładu \(\displaystyle{ X}\)

[tommasz]

Hmm, zapewne masz rację. A czy rozwiązanie tego zadania przez prawdopodobieństwo całkowite jest prawidłowe?
\(\displaystyle{ P(min(X,X^2)<t)=P(min(X,X^2)<t|X<X^2)P(X<X^2)+P(min(X,X^2)<t|X>X^2)P(X>X^2)=P(X<t)P(1<X)+P(X< \sqrt(t))P(X<1)}\)