Suma zmiennych losowych

[acmilan]

Niech \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne i mają rozkłady normalne \(\displaystyle{ N(0,1)}\).

Czy \(\displaystyle{ X+Y}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0,2)}\)?
Jak, znając kwantyle rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\), obliczyć kwantyle rozkładu \(\displaystyle{ N(0,2)}\)?

Pozdrawiam,
Paweł

[miodzio1988]

A problem jest jaki?

Masz niezależność \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), więc jak się wyznacza rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X+Y}\). Dwa sposoby masz na to. Jakie?

[brzoskwinka1]

Jeżeli \(\displaystyle{ X,Y}\) niezależne zmienne losowe i \(\displaystyle{ X\sim N(m_1 ,v_1 ) \wedge Y\sim N(m_2 , v_2 )}\) to \(\displaystyle{ X+Y\sim N(m_1 +m_2 ,\sqrt{v_1^2 +v_2^2})}\)

[pyzol]

Tu może być mała kolizja oznaczeń. Zdarza się oznaczenie:
\(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}\).

[acmilan]

Wiem, że gęstość sumy zmiennych losowych można policzyć ze splotu.

A jak obliczyć kwantyl \(\displaystyle{ N(0,2)}\)?

[pyzol]

To jest ten drugi sposób, ale w tym przypadku lepiej skorzystać, z tego co napisała brzoskwinka1, jeśli chodzi o kwantyl, to poszukaj jaki rozkład ma z.l. \(\displaystyle{ aX}\).
Jeśli \(\displaystyle{ P(X \le b)=1/4}\), to \(\displaystyle{ P(aX \le ab)=1/4}\). Doprowadzasz to postaci, gdy \(\displaystyle{ aX}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) i odczytujesz z tablic, Następnie obliczasz \(\displaystyle{ b}\).