Wykazanie zależności + wskazówka

[conseil]

Niech \(\displaystyle{ A, B \in \Omega}\) Wykaż, że jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to również zdarzenia A i B' są niezależne.

Wskazówka. Skorzystaj z tego, że dla dowolnych zdarzeń A i B zachodzi: \(\displaystyle{ P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B')}\)
-------
Najpierw zapisuję warunek, by zdarzenia były niezależne:
\(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B') = P(A \cap B')}\)
Teraz korzystam ze wskazówki
\(\displaystyle{ [P(A \cap B) + P(A \cap B')] \cdot P(B') = P(A \cap B')}\)
A dalej?

[miodzio1988]

Skorzystaj z tego, że zdarzenia A i B są niezależne

[conseil]

\(\displaystyle{ P \left( A \cap B \right) = P \left( A \right) \cdot P \left( B \right) \\
\left[ P \left( A \cap B \right) + P \left( A \cap B' \right) \right] \cdot P \left( B' \right) = P \left( A \cap B' \right) \\
\left[ P \left( A \right) \cdot P \left( B \right) + P \left( A \cap B' \right) \right] \cdot P \left( B' \right) = P \left( A \cap B' \right)}\)

W ten sposób?

[miodzio1988]

No niech będzie. Teraz \(\displaystyle{ P(B')}\) wzorek na to masz. Zobaczymy co tam po wymnożeniu otrzymamy

[conseil]

Czy masz na myśli \(\displaystyle{ P(B') = 1 - P(B)?}\)
Admin: muszę stosować takie odstępy, zobacz, teraz w ogóle się nie wyświetla poprzednia wiadomość.

[miodzio1988]

Tja. Wymnóż i zobaczymy co z tego wyjdzie.

[conseil]

\(\displaystyle{ \left[ P \left( A \right) \cdot P \left( B \right) + P \left( A \cap B' \right) \right] \cdot P \left( B' \right) = P \left( A \cap B' \right)

[P(A) \cdot P(B) + P(A \cap B') ] \cdot (1 - P(B)) = P(A \cap B')

P(A) \cdot P(B) + P(A \cap B') -P(A) \cdot P(B) -P(B) \cdot P(B) - P(B) \cdot P(A \cap B') = P(A \cap B')}\)

W ten sposób mam to wymnożyć? Bo coś tak nagle skomplikowanie się zrobiło.

[miodzio1988]

No skracają się niektóre rzeczy. To takie rzeczy też mam Ci pisać? Żebyś skracał to co się powtarza? No bez jaj

Btw nie za dużo Ci tych składników wyszło?

[conseil]

No skracają się niektóre rzeczy. To takie rzeczy też mam Ci pisać? Żebyś skracał to co się powtarza? No bez jaj

Nie nie, myślałem, że po prostu coś pokręciłem. No ale dobra, jedziemy dalej:
\(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B) + P(A \cap B') -P(A) \cdot P(B) -P(B) \cdot P(B) - P(B) \cdot P(A \cap B') = P(A \cap B')

P(A \cap B') -P(B) \cdot P(B) -P(B) \cdot P(A \cap B') = P(A \cap B')

-P(B) \cdot P(B) - P(B) \cdot P(A \cap B') = 0

- P(B) \cdot P(B) = P(B) \cdot P(A \cap B')

-P(B) = P(A \cap B')}\)

Dobrze?

[miodzio1988]

Btw nie za dużo Ci tych składników wyszło?

dlaczego 5 składników masz??

[conseil]

O nie, wiedziałem, że gdzieś się walnę.
No to jadę jeszcze raz:
\(\displaystyle{ [P(A) \cdot P(B) + P(A \cap B') ] \cdot (1 - P(B)) = P(A \cap B')

P(A) \cdot P(B) + P(A \cap B') - P(A) \cdot P(B) \cdot P(B) - P(B) \cdot P(A \cap B') = P(A \cap B')}\)
Teraz chyba dobrze. Więc dalej kombinuje:
\(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B) - P(A) \cdot P(B) \cdot P(B) = P(A \cap B') - P(A \cap B') + P(B) \cdot P(A \cap B')}\)
Mogę w ten sposób przenieść?

[miodzio1988]

Możesz

[conseil]

Ok, chyba zrobiłem. Sprawdź, jeżeli możesz, czy dobrze:
\(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B) - P(A) \cdot P(B) \cdot P(B) = P(A \cap B') - P(A \cap B') + P(B) \cdot P(A \cap B')

P(A) \cdot P(B) - P(A) \cdot P(B) \cdot P(B) = P(B) \cdot P(A \cap B')

P(A) - P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B')

P(A)[1 - P(B)] = P(A \cap B')

P(A)[P(B) + P(B') - P(B)] = P(A \cap B')

P(A) \cdot P(B') = P(A \cap B')}\)

[miodzio1988]

Wróciłeś przecież do punktu wyjścia...

[conseil]

Hahaha faktycznie. Ale w ten sposób jest udowodnione czy nie? I co w takim razie zrobić?