Rozkład objętości, promienia i powierzchni kulek.

[Lindar]

Witam. Mam problem z następującym zadaniem: Automat produkuje kulki, których rozkład objętości jest jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [a,b]}\). Jak wygląda rozkład ich promienia i powierzchni?

Rozkład promienia wyznaczyłem chyba dobrze.

Przedstawiam rozkład promienia w następującej postaci:
\(\displaystyle{ P(r\in(r,r+dr))=\rho(V)dV}\)
\(\displaystyle{ \rho(V)={1\over {b-a}}}\)
\(\displaystyle{ V={4\over 3} \pi r^{3}}\)
\(\displaystyle{ {dV\over {dr}}=4\pi r^2}\)
\(\displaystyle{ dV=4\pi r^2dr}\)
\(\displaystyle{ \rho(r)={1\over {b-a}}4\pi r^2$}\)

Dalej wyznaczam rozkład powierzchni korzystając ze znanego rozkładu promienia.

\(\displaystyle{ P(p\in(p,p+dp))=\rho(r)dr}\)
\(\displaystyle{ p=4\pi r^2}\)
\(\displaystyle{ r=\sqrt{p\over {4\pi}}}\)
\(\displaystyle{ dr=\sqrt{1\over {4\pi}}}\)
\(\displaystyle{ \rho(p)={{4\pi r^2}\over {b-a}}\sqrt{1\over{4\pi}}}\)

I gdzieś w tym miejscu na pewno jest błąd. Rozwiązuję to zadanie metodą, którą mam w notatkach, ale nie do końca je rozumiem i pewnie popełniam jakiś głupi błąd. Będę wdzięczny za wszelkie sugestie.

[Chromosom]

W końcowym równaniu nie może pozostać zmienna losowa w tej postaci. Musisz wyrazić \(\displaystyle{ r}\) za pomocą \(\displaystyle{ V}\) i podstawić do równania