Rozkład pewnej zmiennej losowej

[Marioslul]

Witam, mam problem z zadaniem o tresci:
Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa dany wzorem:
\(\displaystyle{ 12x(1-x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\) oraz 0 dla pozostałych x.
Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=2x-3}\).
Zadanie liczę tak: wyznaczam x z równania \(\displaystyle{ Y=2x-3}\).
\(\displaystyle{ x= \frac{y+3}{2}}\) i liczę pochodną z tego po y, czyli jest ona równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

Następnie mnożę ten mój rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X razy tą pochodną powyżej i otrzymuję wynik zadania.

\(\displaystyle{ 12(1-x) * \frac{1}{2} = 6x - 6 x^{2}}\)

Czy to rozwiązanie jest poprawne? Wydaje mi się, że nie, jednak nie jestem w stanie okreslić co robię źle bo więdzę czerpałem z notatek, które są delikatnie mówiąc niekompletne. Wydaje mi się, że zakres zmienej \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\) powinien zostać gdzies użyty (chyba, że w zadaniu jest niepotrzebny, chociaż w takim wypadku nie wiem po co autor zadania go tam umiescił ). Proszę o pomoc.

[szw1710]

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=12x(1-x)}\) nie może być funkcją gęstości prawdopodobieństwa, gdyż \(\displaystyle{ \int_0^1 f(x)\text{d}x=2.}\) Ewentualnie \(\displaystyle{ f(x)=6x(1-x),}\) która daje całkę 1.

Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=\frac{y+3}{2}}\) otrzymujemy stąd \(\displaystyle{ \frac{3}{2}(y+3)(-1-y)}\) dla \(\displaystyle{ y\in(-3,-1)}\) oraz \(\displaystyle{ 0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ y.}\) Po pomnożeniu przez pochodną dostajemy nową funkcję gęstości \(\displaystyle{ g(y)=\frac{3}{4}(y+3)(-1-y)}\) dla \(\displaystyle{ y\in(-3,-1)}\) oraz \(\displaystyle{ g(y)=0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ y.}\) Sprawdź, że teraz \(\displaystyle{ \int_{-3}^{-1}g(y)\text{d}y=1.}\)

[Marioslul]

Dziękuję bardzo za pomoc. Teraz mi się przypomniało, że prowadzący z którym mam zajęcia również podzielił tą gęstosć przez 2 . Mam jeszcze problem z jednym zadaniem o takiej samej tematyce. Mianowicie wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ Y= X^{2}}\). Teraz rozkład prawdopodobieństwa ma postać \(\displaystyle{ 2e ^{-2x}}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\) i \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x < 0}\). Całka w tych granicach wynosi 1. Z równania \(\displaystyle{ Y= X^{2}}\) wyznaczam x, które wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ -\sqrt{y}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{y}}\). Wstawiam to do rozkładu i mam \(\displaystyle{ 2e ^{2 \sqrt{y} }}\) oraz \(\displaystyle{ 2e ^{-2 \sqrt{y} }}\). Te dwie częsci należy do siebie dodać? Nie mam pojęcia jak tu znaleźć zakres y. Aby otrzymać wynik mnożę pierwszą częsć i pochodną pierwszego x i drugą częsć z pochodną drugiego x: \(\displaystyle{ 2e ^{2 \sqrt{y} } \cdot \left( -\frac{1}{2 \sqrt{y} }\right) + 2e ^{-2 \sqrt{y} } \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y} }}\) z czego wychodzi, że rozkład ten to: \(\displaystyle{ -\frac{e ^{2 \sqrt{y} } }{ \sqrt{y} } + \frac{e ^{-2 \sqrt{y} } }{ \sqrt{y} }}\). Prosiłbym o jakies wskazówki co robię źle.

[szw1710]

Nie mam teraz czasu na dokładne zbadanie sprawy, ale przecież dla \(\displaystyle{ x=-\sqrt{y}}\) masz \(\displaystyle{ x<0,}\) więc gęstość jest zerowa. Pozostanę przy tym - pośpiech nie jest dobrym doradcą. Spróbuj zweryfikować swoje rozwiązanie.

[wdsk90]

Teraz rozkład prawdopodobieństwa ma postać \(\displaystyle{ 2e ^{-2x}}\)

Wiesz w ogóle co to jest rozkład? Może Cię to zdziwi, ale gęstość i rozkład to dwie różne rzeczy.

dla \(\displaystyle{ x > 0}\) i \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x < 0}\)

Chyba lepiej napisać, że dla \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\), nie?

Całka w tych granicach wynosi 1

Na pewno?

\(\displaystyle{ 2\int_{\mathbb{R}}e^{-2x} \mbox{d}x =2 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot [e ^{-2x}] ^{+\infty} _{-\infty}=+\infty}\).

[szw1710]

wdsk90, to Ty się zastanów jak określona jest ta funkcja. Przeoczyłeś zero na półosi ujemnej. A w granicach \(\displaystyle{ 0\dots+\infty}\) całka z tej funkcji wynosi 1 i wszystko jest w porządku. Zastanów się, zanim zaczniesz w ostrym tonie. Pisałem - pośpiech nie jest dobrym doradcą.

A w ogóle, to na poziomie podstawowym utożsamia się rozkład zmiennej losowej ciągłej z jego funkcją gęstości bądź dystrybuantą. Oczywiście, różne zmienne losowe mogą mieć ten sam rozkład, więc gęstość nie identyfikuje jednoznacznie zmiennej losowej. Ale w zadaniu konkretna zmienna też nie jest dana, jest natomiast gęstość i w tym sensie wszystko jest poprawnie sformułowane. Co mi z tego, że napiszę, że rozkład zmiennej losowej to pewna miara na zbiorach borelowskich? Co mi to da dla rozwiązania tego zadania?

[wdsk90]

OK, rzeczywiście, bzdurę napisałem, przepraszam. Rozumiem, że rozkład można utożsamiać z jego gęstością czy dystrybuantą, ale chyba się zgodzimy, że jak napiszemy "rozkład dany wzorem" zamiast "rozkład wyznaczony przez gęstość daną wzorem" to sensu to nie ma, prawda (mając na uwadze wzór funkcji podany w treści zadania)? To tak jakbyśmy różniczkowali funkcję stałą (dajmy na to \(\displaystyle{ y=1}\)) i powiedzieli, że pochodna z jedynki wynosi zero.

Marioslul, tutaj trzeba skorzystać z wersji twierdzenia dla funkcji przedziałami monotonicznych. Wychodzi

\(\displaystyle{ g(y)=\frac{e ^{-2 \sqrt{y} } }{ \sqrt{y} } \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y)}\).

[szw1710]

Nie ma sprawy, ja też popełniam błędy, czasem jeszcze gorsze

"rozkład dany wzorem"

Takie sformułowanie owszem, poprawne nie jest, lecz jest obecne w wielu miejscach, np. w Excelu: pod pojęciem rozkład normalny kryje się jego funkcja gęstości.

"rozkład wyznaczony przez gęstość daną wzorem"

Owszem, to nie ma sensu, sam o tym pisałem. Jest na odwrót: to rozkłąd zmiennej losowej ciągłej wyznacza funkcję gęstości, więc poprawne jest sformułowanie zmienna losowa o rozkładzie, którego funkcja gęstości jest dana wzorem ...

pochodna z jedynki wynosi zero

Tak się mówi w żargonie. I nic w tym złego, bo nie wyobrażam sobie, żeby matematyk do matematyka mówił o tej prostej rzeczy mniej więcej tak:

Wiesz, Staszek, jeśli dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)=1}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\), to \(\displaystyle{ f'(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)

[Marioslul]

Co do tego rozkładu to po prostu przepisałem tak jak nam to podał wykładowca . Dziękuję za pomoc, wczoraj wykorzystałem zdobytą wiedzę do zaliczenia przedmiotu . Temat można uznać za zamknięty.