rzuty moneta, granice

[BlueSky]

Niech \(\displaystyle{ p_{n,k}}\) oznacza prawdopodobieństwo, że w \(\displaystyle{ n}\) niezależnych rzutach monetą wypadło dokładnie \(\displaystyle{ k}\) orłów. W jaki sposób udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}p_{3n,n}=\lim_{ n\to \infty}p_{2n,n}=0}\)? Czy wystarczy zauważyć, że mianowniki szybciej rosną od liczników, dlatego te granice to 0?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ p_{3n,n}=...}\)

Pokaż ile takie cudo wynosi

[BlueSky]

Wiem, ile to wynosi, ale nie wiem jak obliczyć później granicę wyniku.

[miodzio1988]

Pokaż ile takie cudo wynosi

ehem....no to zaraz to zweryfikujemy. I lepiej jest mówić o czymś jak to wszyscy widzą.

[BlueSky]

\(\displaystyle{ p_{3n,n}= \frac{ {3n \choose n} }{2^{3n}}}\)

[miodzio1988]

152288.htm

Twierdzenie 6

[BlueSky]

Dla \(\displaystyle{ p_{2n,n}= \frac{ {2n \choose n} }{2^{2n}}}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{\left|a_{n+1} \right| }{\left| a_n\right| } = 1}\), więc co teraz?

[miodzio1988]

Weźmy szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} p_{2n,n}}\)

pokaż, że ten szereg jest zbieżny. Jest zbieżny to spełnia warunek konieczny i mamy koniec. Pomyśl jak pokazać zbieżność

[BlueSky]

Jedyne co mi przychodzi to d'Alembert, ale w tym przypadku to kryterium nie rozstrzyga, więc nie wiem, jak pokazać zbieżność.

[Wasilewski]

Przecież szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{{2n \choose n}}{2^{2n}}}\) nie jest zbieżny.

[miodzio1988]

Szkoda Myślałem, że będzie i załatwi to sprawę.

[Wasilewski]

Albo trzeba się wykazać odrobiną sprytu, albo skorzystać ze wzoru Stirlinga.

[Dasio11]

Najłatwiej chyba będzie zauważyć, że skoro \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2n+1}{2n+2},}\) to

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 \cdot \prod_{n=0}^{\infty} \frac{2n+1}{2n+2}}\)

co można zlogarytmować, zamienić na sumę i udwodnić, że jest rozbieżna do \(\displaystyle{ -\infty.}\)

[BlueSky]

Korzystając ze wzoru Stirlinga mamy po przekształceniach \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} =0}\), więc z tego wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} p_{2n,n} =0}\), prawda?

Z chęcią zobaczyłabym ten sprytniejszy sposób.

[Wasilewski]

Jak już się sprowadzi problem, do iloczynu \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{2k+2}}\), to można rozważyć jego kwadrat:
\(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{n} \frac{(2k+1)^2}{(2k+2)^2} \le \prod_{k=0}^{n} \frac{(2k+1)^2}{(2k+1)(2k+3)}= \prod_{k=0}^{n} \frac{2k+1}{2k+3} = \frac{1}{2n+3} \xrightarrow{n\to \infty} 0}\).