wartosc ocz. liczby wyrzuconych orlow

[BlueSky]

Losujemy liczbę \(\displaystyle{ k}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,...,n\}}\), a następnie rzucamy \(\displaystyle{ k}\) razy monetą. Niech \(\displaystyle{ E_n}\) będzie wartością oczekiwaną liczby wyrzuconych orłów. Czy wtedy
a) \(\displaystyle{ E_{11}>3}\)
b) \(\displaystyle{ E_{8}>2}\)
c) \(\displaystyle{ E_{14}>4}\)
d) \(\displaystyle{ E_{3}>1}\)

[pyzol]

Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie zmienną losową oznaczającą wylosowaną liczbę z naszego zbioru. Ze schematu Bernouliego mamy:
\(\displaystyle{ \mathcal{E}(X|Y=k)=\frac{k}{2}\\
\mathcal{E}X=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+...+\frac{n}{2} \right)=\frac{n-1}{4}}\)
Ale gwarancji nie daję na to zadanie. Wychodzi na to, że tylko b) jest poprawna.

[BlueSky]

Odpowiedź się zgadza Ale czy mógłbyś mi te równości bardziej rozpisać, bo zbytnio nie widzę, dlaczego tak jest.

[pyzol]

Załóżmy, że wylosowaliśmy liczbę k. Teraz mamy do czynienia z rozkładem dwumianowym. Rzucamy k razy symetryczną monetą. Wartość oczekiwana w tej chwili wynosi: \(\displaystyle{ np=k\cdot\frac{1}{2}}\).
Więc dla wylosowanej liczby \(\displaystyle{ k=1,...,n}\) mamy odpowiednio:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2},\frac{2}{2},...,\frac{n}{2}}\). Prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę k wynosi: \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Liczymy teraz wartość oczekiwaną czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{2}\cdots+\frac{1}{n}\cdot\frac{n}{2}}\)
Reszta to wzór na sumę ciągu arytmetycznego.

[BlueSky]

Dzięki ogromne za pomoc, ale znalazłam malutki błąd.

\(\displaystyle{ \mathcal{E}X=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+...+\frac{n}{2} \right)=\frac{n-1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{E}X=\frac{n+1}{4}}\)

[pyzol]

Tak, tak, przepraszam. Literówka, zresztą wtedy nie pasowałaby żadna odpowiedź.