Matematyka.pl

Niech gestosc zmiennych losowych: (X,Y)' :

\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{2}{(1+x+y)^3} , x,y>0.}\)

Pokaz, ze dla funkcji rozkladu \(\displaystyle{ F(x,y), (X,Y)'}\)

\(\displaystyle{ F(x,y)= 1 - \frac{1}{1+x} - \frac{1}{1+y} + \frac{1}{x+y+1} , x,y>0}\)

ja wiem, ze to pewnie banalne zadanie, ale nie mam pojecia jak mam to zrobic. Pokazaylam ze to naprawde gestosc funkcji (podowjny integral wynosi 1) ale nie wiem co dalej...

Dystrybuantę definiujemy jako: \(\displaystyle{ F(x,y)= \int_{- \infty }^{x}\int_{- \infty }^{y}f(s,t)dsdt}\)
Widać, że w naszym przypadku jest ona niezerowa dla \(\displaystyle{ x,y>0}\)
Można ją wyliczyć także w sposób następujący:
\(\displaystyle{ F(x,y)=P(X \le x,Y \le y)=1-P(X \ge x,Y \in R)-P(X \in R,Y \ge y)+P(X \ge x,Y \ge y)}\)

Podstawilam moja funkcje do : \(\displaystyle{ F(x,y)= \int_{- \infty }^{x}\int_{- \infty }^{y}f(s,t)dsdt}\)
i wyszlo mi: \(\displaystyle{ F(x,y)= \frac{1}{x+y+1}}\) , ale w dalszym ciagu nie pokazalam tego co powinnam :/

Gdzieś popełniłaś błąd w całkowaniu.
Ja również podstawiłem Twoja funkcję do wzoru na dystrybuantę i dostałem to, co mieliśmy otrzymać.