Zadanie brzmi tak:
Niech dystrybuanta \(\displaystyle{ F}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) będzie funkcją ściśle rosnącą i ciągła, a funkcja \(\displaystyle{ h}\) niech będzie różnowartościowa. Znaleźć dystrybuantę \(\displaystyle{ G}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ h(X)}\).
W odpowiedziach jest podane, że \(\displaystyle{ G(x) = F(h^{-1}(x))}\).
I to mi coś nie pasuje, bo niech np.
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{\pi}\arctan (x)+\frac{1}{2}}\) - jest to dystrybuanta jakieś zmiennej losowej, ściśle rosnącą i ciągłą,
\(\displaystyle{ h(x) = -x}\), wtedy \(\displaystyle{ h^{-1}(x)=-x}\)
Jeśli teraz weźmiemy \(\displaystyle{ G(x) = F(h^{-1}(x)) = F(-x) = \frac{1}{\pi}\arctan (-x)+\frac{1}{2}}\) - a to już dystrybuanta nie jest, chociażby dlatego, że jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
W tym samym zbiorze zadań (trochę analogiczne do powyższego): zm. los. \(\displaystyle{ X}\) ma dystr. \(\displaystyle{ F_X(x)}\). Znaleźć dystrybuantę \(\displaystyle{ Y=-X}\).
Odp.: \(\displaystyle{ F_Y(x)=1-F_X(x^+)}\) - co też mi nie pasuje... przecież \(\displaystyle{ F_Y}\) jest malejąca, więc jak może być dystrybuantą. Wg mnie poprawną odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ F_Y(x)=1-F(-x^+)}\).
Dystrybuanta, funkcja h, zmienna losowa h(X) i błędna(?) odp
-
- Użytkownik
- Posty: 692
- Rejestracja: 19 cze 2011, o 23:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 107 razy
Dystrybuanta, funkcja h, zmienna losowa h(X) i błędna(?) odp
Co to jest dystrybuanta \(\displaystyle{ h(X)}\)?
To jest \(\displaystyle{ F_{h(X)}(t)=P(h(X) \le t)}\)
przekształcając:
\(\displaystyle{ F_{h(X)}(t)=P(h(X) \le t)=P(X \le h^{-1}(t))=F_{X}(h^{-1}(t))}\)
To jest \(\displaystyle{ F_{h(X)}(t)=P(h(X) \le t)}\)
przekształcając:
\(\displaystyle{ F_{h(X)}(t)=P(h(X) \le t)=P(X \le h^{-1}(t))=F_{X}(h^{-1}(t))}\)
- jenter
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 25 mar 2006, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
Dystrybuanta, funkcja h, zmienna losowa h(X) i błędna(?) odp
No ok. Też tak zrobiłem. Ale dalej mi nie pasuje, czemu podany przeze mnie przykład przeczy temu wyprowadzeniu. Albo nie przeczy. Ale wobec tego, gdzie jest błąd?
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Dystrybuanta, funkcja h, zmienna losowa h(X) i błędna(?) odp
Nom, jest to prawdziwe, gdy \(\displaystyle{ h^{-1}(x)}\) jest rosnąca. Także brakło tego założenia w zadaniu...