Matematyka.pl

Zadanie brzmi tak:
Niech dystrybuanta \(\displaystyle{ F}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) będzie funkcją ściśle rosnącą i ciągła, a funkcja \(\displaystyle{ h}\) niech będzie różnowartościowa. Znaleźć dystrybuantę \(\displaystyle{ G}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ h(X)}\).

W odpowiedziach jest podane, że \(\displaystyle{ G(x) = F(h^{-1}(x))}\).

I to mi coś nie pasuje, bo niech np.
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{\pi}\arctan (x)+\frac{1}{2}}\) - jest to dystrybuanta jakieś zmiennej losowej, ściśle rosnącą i ciągłą,
\(\displaystyle{ h(x) = -x}\), wtedy \(\displaystyle{ h^{-1}(x)=-x}\)

Jeśli teraz weźmiemy \(\displaystyle{ G(x) = F(h^{-1}(x)) = F(-x) = \frac{1}{\pi}\arctan (-x)+\frac{1}{2}}\) - a to już dystrybuanta nie jest, chociażby dlatego, że jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

W tym samym zbiorze zadań (trochę analogiczne do powyższego): zm. los. \(\displaystyle{ X}\) ma dystr. \(\displaystyle{ F_X(x)}\). Znaleźć dystrybuantę \(\displaystyle{ Y=-X}\).
Odp.: \(\displaystyle{ F_Y(x)=1-F_X(x^+)}\) - co też mi nie pasuje... przecież \(\displaystyle{ F_Y}\) jest malejąca, więc jak może być dystrybuantą. Wg mnie poprawną odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ F_Y(x)=1-F(-x^+)}\).

Co to jest dystrybuanta \(\displaystyle{ h(X)}\)?
To jest \(\displaystyle{ F_{h(X)}(t)=P(h(X) \le t)}\)
przekształcając:
\(\displaystyle{ F_{h(X)}(t)=P(h(X) \le t)=P(X \le h^{-1}(t))=F_{X}(h^{-1}(t))}\)

No ok. Też tak zrobiłem. Ale dalej mi nie pasuje, czemu podany przeze mnie przykład przeczy temu wyprowadzeniu. Albo nie przeczy. Ale wobec tego, gdzie jest błąd?

Nom, jest to prawdziwe, gdy \(\displaystyle{ h^{-1}(x)}\) jest rosnąca. Także brakło tego założenia w zadaniu...