dystrybuanta i gestość

[xxx150]

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0,2]. Wyznaczyć dystrybunaty i gęstośc zmiennych \(\displaystyle{ Y=min(X,X ^{2})}\) i \(\displaystyle{ Z=max(1,X)}\).

Moje rowzwiązanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} X ^{2} dla X \in [0,1] \\ X dla X \in [1,2] \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ Z= \begin{cases} 1 dla X \in [0,1] \\ X dla X \in [1,2] \end{cases}}\)

dobrze myślę , że gęstości będą wyglądać tak :
\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} \frac{1}{4} dla X \in [0,1] \\ \frac{1}{2} dla X \in [1,2]\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ Z= \begin{cases} 1 dla X \in [0,1] \\\frac{1}{2} dla X \in [1,2]\end{cases}}\)


a dystrybuanty:
\(\displaystyle{ F(t)= \begin{cases} 1/4 dla t<1 \\ 3/4 dla 1<t<2 \end{cases}}\) dla zmiennej Y?
Proszę o sprawdzenie i poprawienie błędów:)

[Lider Artur]

nie tak łatwo.
Zobacz, że gęstości rozkładów nie całkują się do \(\displaystyle{ 1}\)
Do tego funkcja, którą przyjmujesz za dystrybuantę nie spełnia jej własności.
Nie są to poprawne rozwiązania.

[xxx150]

racja... w takim razie jak to może wyglądać bo nie mam pomysłu;/

[Lider Artur]

Lepiej na początku wyznacz dystrybuanty \(\displaystyle{ Y,Z}\), a potem na ich podstawie podaj gęstości tych zmiennych losowych

[xxx150]

tak zrobiłem i gęstość dla Y wyszła
\(\displaystyle{ y(x)= \begin{cases} \frac{1}{2} \frac{1}{ \sqrt{x} } dla x \in [0,1] \\ \frac{1}{2} dla x \in [1,2] \end{cases}}\)
więc chyba jest ok nie?

[Lider Artur]

też nie. A podaj wzór na dystrybuantę Y

[xxx150]

\(\displaystyle{ F(t)= \begin{cases} \sqrt{t} -1 dla t \in [0,1]\\ \frac{1}{2}*t- \frac{1}{2} dla t \in [1,2]\end{cases}}\), widze że jest błąd po dla t=2 wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a powinno byc 1, ale nie wiem jak inaczej to zrobić;/

[Lider Artur]

\(\displaystyle{ F_{Y}(t)=P(Y le t)=P(min(X,X^{2}) le t)= egin{cases} 0, hbox{ dla } t<0\int_{0}^{sqrt{t}} f(x)dx, hbox{ dla } tin[0;1)\ int_{0}^{t} f(x)dx, hbox{ dla } tin [1;2)\ 1, hbox{ dla } t ge 2 end{cases}}\)
Zastanów się, dlaczego tak jest.

[xxx150]

Błąd mam w tym, ze gdy liczyłem \(\displaystyle{ P(X ^{2} <t)}\) to liczyłem także dla ujemnych \(\displaystyle{ P( -\sqrt{t} <X< \sqrt{t} )=2 \int_{0}^{ \sqrt{t} }f(x)dx-1}\), a powinienem tak jak Ty, dzięki za pomoc