Gra o sumie zerowej (strategia)

[Snowball91]

Nie znam się na teorii gier - zaznaczam od razu. Po sesji chętnie przeczytałbym jakąś pozycję traktującą o tym dziale matematyki, gdyby któryś forumowicz polecił coś stosunkowo łatwo dostępnego i zrozumiałego
Tymczasem jednak natrafiłem na przykład gry, którą chciałbym - z czystego matematycznego hobby - "rozwiązać", tj. znaleźć strategię pozwalającą zminimalizować straty (a lepiej: zmaksymalizować zyski) z perspektywy jednego z dwóch graczy. Gra wygląda tak:
- gracz A ustala kwotę zakładu (x),
- obaj gracze (A i B) wpłacają do puli kwotę zakładu (w puli jest więc 2x),
- następuje rzut monetą, zwycięzca zgarnia wszystko.
Cały schemat powtarzamy. Gracz A decyduje, czy chce grać dalej, czy nie, i za ile.
Problem polega na opracowaniu strategii doboru przez A kwot zakładu tak, żeby jego oczekiwana wypłata była jak najwyższa (nie ogarniam do końca terminologii teorii gier; chodzi o to, żeby w miarę możliwości strategia była 'jak najlepsza' - żeby jak najwięcej zarobić).
Najprostszy przykład, który od razu przyszedł mi do głowy, to strategia polegająca na tym, że A stawia początkowo jakieś p. Gdy wygra - stawia ponownie p, gdy przegra - stawia dwukrotność przegranego zakładu. W ten sposób zapewnia (teoretycznie) sobie zysk równy p za każdą serią zakładów. Problemy pojawiają się, gdy wprowadzimy ograniczenie funduszy graczowi, stąd pytanie: czy można to zrobić jakoś lepiej?

[ElEski]

Snowball91,
Czemu zapewnia sobie..?
Jeśli np. przegra i da 2p, to ma szansę 1/2 na to, że zyska p... Więc czemu "teoretycznie" zapewnia sobie zysk?-- Moim zdaniem, jak tak patrzę przez chwilę na tę grę, nie ma w niej dobrej strategii, gdyż zawsze prawdopodobieństwo na wygranie jest 1/2...

[Snowball91]

Prawdopodobieństwo wygranej owszem, 1/2. Ale strategia, którą podałem, polega na takim dobieraniu kwot zakładu, aby wypłata ze zwycięstwa pokrywała wszystkie poniesione wcześniej straty. Popatrz z tej strony:
Gdy gracz przegra raz (szansa na to: 1/2), to traci p. Gdy przegra drugi raz, łącznie traci 3p, ale gdyby wygrał, to jest p do przodu. Stąd można wywnioskować, że gdyby przegrał k razy z rzędu, to na tej zasadzie będzie stratny łącznie o \(\displaystyle{ \left(2^{k}-1\right)p}\). Ale szansa na to, że przegra k razy z rzędu wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{k}}}\). A zatem, teoretycznie, gdyby A miał nieograniczone fundusze i mógł grać dostatecznie długo, to za którymś razem wygra, a strategia zapewnia mu pokrycie poprzednich strat z zyskiem p.
Mój problem polega na tym, że nie mamy ani nieskończonego czasu, ani funduszy - stąd potrzeba optymalizacji strategii.

[miki999]

Mój problem polega na tym, że nie mamy ani nieskończonego czasu, ani funduszy - stąd potrzeba optymalizacji strategii.

No właśnie. Zatem pytanie powinno raczej brzmieć: czy istnieje strategia dominująca dla danego z góry określonego kapitału.

Kiedyś za czasów licealnych z ciekawości wypożyczyłem: "Strategia. Wprowadzenie do teorii gier", Watson. Przeczytałem kilka stron o tym, jak to jakiś producent filmowy postanowił wyprodukować "Mrówkę Z", bo pokłócił się z wytwórnią "Dawno temu w trawie". W sumie na tym skończyłem, bo zbyt bardzo opisowe to było.

[ElEski]

Ok, teraz się zgadzam. Przy nieskończonym czasie owszem.

[Snowball91]

Dzięki za poprawkę miki999. Jak już wspominałem, terminologia teorii gier nie jest mi zbyt bliska.
Czy zatem istnieje strategia dominująca dla danego kapitału?

[miki999]

To dosyć dziwna gra, bo nasz przeciwnik w sumie nie podejmuje żadnych decyzji, tylko przystaje na nasze warunki, ale ok, bo to tylko model.

Wszystko rozgrywa się o prawdopodobieństwo i przy tym założeniu nie istnieje strategia dająca pewne zwycięstwo, ale rozpoczynając od jak najmniejszej kwoty (czyli np. przy kwocie 1000 zł zaczynając od 1 gr) zwiększamy szansę tego, że w końcu uda się "odkuć" (zdaje się, że około 20 przegranych z rzędu spowoduje, że nie będziemy mieć funduszy, co jest możliwe).