Rozkład zmiennej i funkcja gęstości wektora losowego

[impaler]

Witam!

Mam problem z następującymi dwoma zadaniami:

Zadanie 1

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},...,X_{n}}\) są niezależnymi zmiennymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie \(\displaystyle{ N(10,1)}\). Podaj rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y=\frac{1}{n}(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})}\).

Zadanie 2

Niech \(\displaystyle{ X_{1},X_{2}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Zmienna \(\displaystyle{ X_{1}}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{2}}\), a zmienna \(\displaystyle{ X_{2}}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{3}}\). Wyznacz funkcję gęstości wektora losowego \(\displaystyle{ X=(X_{1},X_{2})}\).


Ad. 1

Co do zadanie pierwszego znalazłem w notatkach z wykładu coś takiego:

Jeśli \(\displaystyle{ X \sim N(\mu,\sigma)}\) to \(\displaystyle{ Y=aX+b \sim N(b+\mu a,\sigma|a|)}\).

Jednak za bardzo nie wiem jak zastosować to do sumy.

Ad. 2

Jeżeli chodzi o drugie to znalazłem:

\(\displaystyle{ f_{Z}(a)=(f_{X}*f_{Y})(a)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(a-y)f_{Y}(y)dy}\).

Nie wiem jednak czy to odpowiednia rzecz do rozwiązania zadania, jeżeli tak to jakoś sobie poradzę, potrzebuje jedynie nakierowania


Serdecznie pozdrawiam!

[miodzio1988]

Najpierw zobacz jak zachowuje się suma zmiennych losowych o rozkładzie normalnym

Zauważ, ze w pierwszym masz średnią arytmetyczną. Możesz skorzystać z faktu, że:

jeśli \(\displaystyle{ X _{1},...,X _{n} \sim N(u, \sigma)}\)

to

\(\displaystyle{ \frac{\overline{X }-u}{\sigma}\sim N(0,1)}\)

Plus, to co Ty podałeś.

[Lider Artur]

2. Gdy mamy do czynienia z niezależnymi zmiennymi losowymi, to gęstość wektora losowego jest iloczynem gęstości poszczególnych zmiennych losowych
Ty podałeś wzór na gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\).