Zdefiniować najmniejsze sigma ciało / Dobrać stałe A,B aby

[web_2]

Zdefiniować najmniejsze sigma ciało tak aby X była zmienna losową
\(\displaystyle{ \Omega \ =\ <0,3>}\)
\(\displaystyle{ X(\omega) = \begin{cases} \ 1 \ \omega \in <0,1) \\ \ 2 \ \omega \in <1,2> \\ \ 3 \ \omega \in (2,3>\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \sigma = (\Omega,\ \phi,\ [0,1),\ <1,3],\ [1,2],\ [0,1) \cup [2,3),\ (2,3],\ [0,2] )}\)
coś zgubiłem ? chyba nie?

Dobrać stałe A,B tak aby funkcja F:

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0\ x \le 1 \\ A+B\ arc\ cos\ x\ \ x \in (-1,1> \\1\ x>1 \end{cases}}\)

była dystrubuantą

No to sprawdzamy warunki
1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty }=0}\) oczywiste

Dobrze mysle czy cos namieszałem?
2) \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }=1}\) oczywiste

3)Funkcja niemalejaca

czyli warunek \(\displaystyle{ 0 \le A+B\ arc\ cos\ x \le 1}\)

4) Conajmniej przeliczalna lb pktow nieciaglosci - jest

5) Funcja przynajmniej lewostronnie ciagla czyli
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1 } A+B\ arc\ cos\ x\ =1}\)

\(\displaystyle{ A+B\ arc\ cos\ (1)\ =\ 1}\)

[Juankm]

Co się tyczy sigma ciała:
\(\displaystyle{ \sigma = (\Omega,\overbrace{\phi}^{to \ niepotrzebne},\ [0,1),\ <1,3],\ [1,2],\ [0,1) \cup \overbrace{[2,3)}^{tu \ Ci \ sie \ nawiasy \ zamienily \ miejscami},\ (2,3],\ [0,2] )}\)


Co się tyczy dystrybuanty, to masz błędzik w jej definicji, bo chyba \(\displaystyle{ F(x)=0 \iff x \leqslant -1}\), a co do warunków to:

pierwsze dwa są ok,

trzeci wobec różniczkowalności funkcji \(\displaystyle{ A+B \arccos {x}}\) na \(\displaystyle{ (-1,1)}\) jest równoważny: \(\displaystyle{ \begin{cases}(A+B \arccos {x})^{\prime} \geqslant 0 \iff \frac{-B}{\sqrt{1-x^{2}}} \geqslant 0 \Rightarrow B\leqslant 0 \\ \lim_{x \to -1^{+}} (A+B \arccos {x}) = A + B \pi \geqslant 0 \end{cases}}\),

czwarty jest zawarty w tym, że funkcja jest niemalejąca,

a piąty w tym przypadku daje: \(\displaystyle{ \lim_{x \to 1^{-} } (A+B \arccos {x}) = A + B \cdot 0 = A := F(1) = 1.}\)

Miłego kończenia!