Średnia geometryczna 100 liczb

[Smażony Ogórek]

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że średnia geomteryczna \(\displaystyle{ 100}\) liczb losowo wybranych z odcinka \(\displaystyle{ [1,2]}\) jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\). Podać twierdzenie, na którym opiera się rachunek.

Można prosić o jakąś wskazówkę?

[Lider Artur]

Możesz skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma^{2}} \sim N(0,1)}\)

Gdzie \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [1;2]}\)

Na końcu wystarczy skorzystać z dystrybuanty rozkładu normalnego.

[pyzol]

Tylko tu jest średnia geometryczna. Ja bym proponował na starcie zlogarytmować:
\(\displaystyle{ P(\sqrt[n]{X_1\cdots X_n} \le \frac{3}{2})\\
P(\overline{Y} \le \ln \frac{3}{2})\\
Y=\ln X_1,...,\ln X_n}\)
Teraz należałoby znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ \ln X\\
P(\ln X \le t)=P(X \le e^t)=F_{X}(e^t)=e^t-1,t\in[0,\ln 2]\\
f_{Y}(t)=e^t\cdot II_{[0;\ln 2]}(t)\\
\mathcal{E}Y=\int_0^{\ln 2} xe^x dx\\
\mathcal{E}Y^2=\int_0^{\ln 2} x^2 e^x dx}\)
Po obliczeniu średniej i wariancji, dopiero CTG.