Takie zadanie :
Włamywacz posługuje się kluczem do własnego mieszkania jako wytrychem. Udaje mu się w ten sposób otworzyć przeciętnie jedne drzwi na 100. Przypuśćmy, że zysk włamywacza z jednego udanego włamania wynosi 5000zł. Ile musi odwiedzić ten złodziej mieszkań aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 uzyskać sumę przekraczającą 500.000zl?
No więc odrazu robię sobie zmienną losową jako iloczyn pieniędzy, które może dostać i szansą na włamanie :
\(\displaystyle{ P(X_{i}=1) = \frac{1}{100} \cdot 5000zl =50}\)
\(\displaystyle{ P(X_{i}=0) = \frac{99}{100} \cdot 0zl = 0}\)
No i teraz pytam się o :
\(\displaystyle{ P( \sum_{i=1}^{n}X_{i} \ge 500.000) \ge 0.9}\)
Aha, i podstawiam sobie \(\displaystyle{ Z= \sum_{i=0}^{n}X_{i}}\)
No i teraz do standaryzacji potrzebuje EZ i VarZ, więc
\(\displaystyle{ EZ = n \cdot [50 + 0] =50n}\)
i
\(\displaystyle{ VarZ=E(Z)^{2} - E^{2}(Z)}\)
więc
\(\displaystyle{ E(Z)^{2} = n \cdot (50^{2} + 0^{2})= 2500n}\)
i
\(\displaystyle{ E^{2}(Z) = (50n)^{2} =2500n^{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ VarZ = 2500n - 2500n^{2}}\)
Dokonuję standaryzacji:
\(\displaystyle{ P( Z \ge 500.000) \ge 0.9 = P( \frac{Z-50n}{(2500n-2500n^{2})^{1/2}} \ge \frac{500.000 -50n}{(2500n-2500n^{2})^{1/2}} \ge 0.9}\)
No i po obliczeniach mi wychodzą jakieś dziwne liczby, chociaż patrząc odrazu na mianownik, można zobaczyć, że \(\displaystyle{ n \in (0,1)}\) więc coś nie tak.
Proszę o wskazówkę, co źle policzyłem...
( jeśli się zastanawiacie czemu takie dziwne podstawienie, Z= suma, to mi się tak lepiej liczy, i poprzednie zadania mi dobrze wychodziły, czy się robiło Identycznie jak należy, czy tak )
Standaryzacja, pytanie
Standaryzacja, pytanie
Ostatnio zmieniony 22 cze 2011, o 16:05 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot
-
Lider Artur
- Użytkownik
- Posty: 692
- Rejestracja: 19 cze 2011, o 23:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 107 razy
Standaryzacja, pytanie
Ja bym tak spojrzał na to zadanie:
Niech \(\displaystyle{ X_{i}}\) oznacza zmienna losową, opisująca otwarcie drzwi w \(\displaystyle{ i}\)-tym razie, tzn.
\(\displaystyle{ X_{i}=1}\) - próba zakończona sukcesem
\(\displaystyle{ X_{i}=0}\) - nie udało się otworzyć drzwi
Zatem
\(\displaystyle{ P(X_{i}=1)=\frac{1}{100}=1-P(X_{i}=0)}\)
Interesuje nas sytuacja gdzie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_{i} \ge 100}\)
Ale ponieważ zmienna losowa \(\displaystyle{ X_{i}}\) ma rozkład dwupunktowy, to zmienna losowa \(\displaystyle{ Z=\sum_{i=1}^{n}X_{i}}\) będzie miała rozkład dwumianowy (czy też jak niektórzy nazywają Bernoulliego) z parametrami \(\displaystyle{ (n, \frac{1}{100})}\)
Czyli \(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{n}X_{i} \ge 100)=P(Z \ge 100) = \sum_{k=100}^{ \infty }P(Z=k)=\sum_{k=100}^{ \infty } {n \choose k} \left(\frac{1}{100}\right)^k\left(\frac{99}{100}\right)^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{n}X_{i} \ge 100) \ge 0,9 \Leftrightarrow \sum_{k=100}^{ \infty } {n \choose k} \left(\frac{1}{100}\right)^k\left(\frac{99}{100}\right)^{n-k} \ge 0,9}\)
Niech \(\displaystyle{ X_{i}}\) oznacza zmienna losową, opisująca otwarcie drzwi w \(\displaystyle{ i}\)-tym razie, tzn.
\(\displaystyle{ X_{i}=1}\) - próba zakończona sukcesem
\(\displaystyle{ X_{i}=0}\) - nie udało się otworzyć drzwi
Zatem
\(\displaystyle{ P(X_{i}=1)=\frac{1}{100}=1-P(X_{i}=0)}\)
Interesuje nas sytuacja gdzie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_{i} \ge 100}\)
Ale ponieważ zmienna losowa \(\displaystyle{ X_{i}}\) ma rozkład dwupunktowy, to zmienna losowa \(\displaystyle{ Z=\sum_{i=1}^{n}X_{i}}\) będzie miała rozkład dwumianowy (czy też jak niektórzy nazywają Bernoulliego) z parametrami \(\displaystyle{ (n, \frac{1}{100})}\)
Czyli \(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{n}X_{i} \ge 100)=P(Z \ge 100) = \sum_{k=100}^{ \infty }P(Z=k)=\sum_{k=100}^{ \infty } {n \choose k} \left(\frac{1}{100}\right)^k\left(\frac{99}{100}\right)^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{n}X_{i} \ge 100) \ge 0,9 \Leftrightarrow \sum_{k=100}^{ \infty } {n \choose k} \left(\frac{1}{100}\right)^k\left(\frac{99}{100}\right)^{n-k} \ge 0,9}\)
Standaryzacja, pytanie
Hmmm, spróbuje rozwiązać to w ten sposób, tzn "olewając" te 5000zł. Jednak na pewno muszę skorzystać ze standaryzacji choć twoje rozw. wygląda ok.
dzięki
dzięki
Standaryzacja, pytanie
Niestety, wróciłem do tego zadania po weekendzie i nadal mam problem...
Otóż, zgodzę się, że wystarczy policzyć :
\(\displaystyle{ P( \sum_{i=1}^{n}X_{i} \ge 100) \ge 0.9}\)
No i teraz jak sobie wyliczę EZ i VarZ i wstawię do standaryzacji, to mi wychodzą jakieś pierdoły
tzn :
\(\displaystyle{ EZ = n* \frac{1}{100}}\)
a \(\displaystyle{ VarZ = n*\frac{1}{100} * \frac{99}{100}}\)
No bo jest rozkład bernuliego ?
No i po wstawieniu :
\(\displaystyle{ P( \frac{Z- \frac{n}{100} }{ \sqrt{ \frac{n*99}{10000} } } \ge \frac{100- \frac{n}{100} }{ \sqrt{ \frac{n*99}{10000} } } ) \ge 0.9}\)
dalej :
\(\displaystyle{ 1 - F(\frac{100- \frac{n}{100} }{ \sqrt{ \frac{n*99}{10000} } }) \ge 0.9}\)
czyli
\(\displaystyle{ F(\frac{100- \frac{n}{100} }{ \sqrt{ \frac{n*99}{10000} } }) \le 0.1}\)
odczytałem z tablic, że F(-1.28) = 0.1
więc
\(\displaystyle{ \frac{100- \frac{n}{100} }{ \sqrt{ \frac{n*99}{10000} } } \le -1.28}\)
czyli :
\(\displaystyle{ -n + \frac{128* \sqrt{99}* \sqrt{n} }{100} +10000 \le 0}\)
Obliczyłem pierwiastki i tak mniej więcej w zaokrągleniu wyszło n= -93 i n=106
A widzimy, że parabola ma skierowane ramiona ku dołowi, więc coś jest nie tak... proszę o jakąś podpowiedź co robię źle.
Dziękuje
Otóż, zgodzę się, że wystarczy policzyć :
\(\displaystyle{ P( \sum_{i=1}^{n}X_{i} \ge 100) \ge 0.9}\)
No i teraz jak sobie wyliczę EZ i VarZ i wstawię do standaryzacji, to mi wychodzą jakieś pierdoły
tzn :
\(\displaystyle{ EZ = n* \frac{1}{100}}\)
a \(\displaystyle{ VarZ = n*\frac{1}{100} * \frac{99}{100}}\)
No bo jest rozkład bernuliego ?
No i po wstawieniu :
\(\displaystyle{ P( \frac{Z- \frac{n}{100} }{ \sqrt{ \frac{n*99}{10000} } } \ge \frac{100- \frac{n}{100} }{ \sqrt{ \frac{n*99}{10000} } } ) \ge 0.9}\)
dalej :
\(\displaystyle{ 1 - F(\frac{100- \frac{n}{100} }{ \sqrt{ \frac{n*99}{10000} } }) \ge 0.9}\)
czyli
\(\displaystyle{ F(\frac{100- \frac{n}{100} }{ \sqrt{ \frac{n*99}{10000} } }) \le 0.1}\)
odczytałem z tablic, że F(-1.28) = 0.1
więc
\(\displaystyle{ \frac{100- \frac{n}{100} }{ \sqrt{ \frac{n*99}{10000} } } \le -1.28}\)
czyli :
\(\displaystyle{ -n + \frac{128* \sqrt{99}* \sqrt{n} }{100} +10000 \le 0}\)
Obliczyłem pierwiastki i tak mniej więcej w zaokrągleniu wyszło n= -93 i n=106
A widzimy, że parabola ma skierowane ramiona ku dołowi, więc coś jest nie tak... proszę o jakąś podpowiedź co robię źle.
Dziękuje