Matematyka.pl

Z odcinka \(\displaystyle{ <-2,2>}\) wybrano losowo i niezależnie od siebie 2 liczby \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). Obliczyć prawdopodobieństwo że \(\displaystyle{ \sqrt{X ^{2}+ Y^{2} -4}}\) jest poprawnie określony jeżeli wiadomo że \(\displaystyle{ X^{2} + Y^{2} \ge 1}\)

f-nasz wzór jest poprawnie określony,jeśli
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} \le 4}\)
Oznaczmy
\(\displaystyle{ Pole(\Omega )=16}\) bo przestrzenią jest produkt 2 odcinków odcinków <-2,2>.
Prawdopodobieństwo B-warunek,że \(\displaystyle{ X^{2}+Y^{2} \ge 1}\)oznacza,że
\(\displaystyle{ Pole(B)=16-\pi}\)A-poprawne okeślenie
\(\displaystyle{ Pole(A)=4\pi}\)
Bo A-koło o promieniu 2
Korzystamy z prawdopodobieństwa warunkowego
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B}{P(B)}}\)czyli wiedząc,że punkt leży w kwadracie i poza kołem o promieniu 1 wyliczyć,że leży w pierścieniu o promieniach 1 i 2
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{3\pi}{16-\pi}}\)