Zmienna losowa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
darkmiki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 lis 2010, o 18:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków

Zmienna losowa

Post autor: darkmiki »

\(\displaystyle{ \Omega = \left\{ [0,1]\right\}, \sigma =\left\{ \Omega, \phi, \left[ 0, \frac{1}{2}\right), \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] \right) \right\}}\). Na \(\displaystyle{ \sigma}\) określone jest prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P}\). Które z następujących funkcji są zmiennymi losowymi?

\(\displaystyle{ X _{1} \left(w\right)=\left[w-\frac{1}{2}\right]}\)
\(\displaystyle{ X _{2} \left(w\right)=\left[w+\frac{3}{4}\right]}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ X_{i}}\) nie jest zmienną losową, to tak uzupełnić \(\displaystyle{ \sigma}\) do \(\displaystyle{ \sigma'}\), żeby \(\displaystyle{ X_{i}}\) była zmienną losową.

Proszę o pomoc w tym zadaniu. Najbardziej zależy mi na wyjaśnieniu:)
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Zmienna losowa

Post autor: Spektralny »

Rozumiem, że ten nawias kwadratowy to część całkowita (cecha z liczby)? Używają języka teorii miary pytanie jest o mierzalność funkcji \(\displaystyle{ X_i}\). Przypomnijmy, że funkcja \(\displaystyle{ f\colon (\Omega, \sigma) \to \mathbb{R}}\) jest mierzalna (jest zmienną losową), gdy \(\displaystyle{ f^{-1}\in \sigma}\) dla każdego zbioru borelowskiego \(\displaystyle{ B\subseteq \mathbb{R}}\). Nie jest trudno zauważyć, że wystarczy się ograniczyć do zbiorów postaci \(\displaystyle{ B=(a,b)}\).

Teraz: Jeżeli \(\displaystyle{ w\in [0,1]}\), to \(\displaystyle{ [w+\frac{3}{4}]\in \{1,2\}}\) ...

Teraz musisz rozważać przeciwobrazy przedziałów.

Spróbuj dalej sam, jak nie wyjdzie to wpadnę jeszcze
darkmiki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 lis 2010, o 18:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków

Zmienna losowa

Post autor: darkmiki »

Sekundkę, jeżeli \(\displaystyle{ w \in \left[ 0,1\right]}\) to \(\displaystyle{ \left[ w+ \frac{3}{4} \right] \in \left\{ 0,1\right\}}\).
W każdym razie zgodnie z tym, co napisałeś, to jeżeli \(\displaystyle{ w \in \left[ 0,1\right]}\) to \(\displaystyle{ \left[ w- \frac{1}{2} \right] \in \left\{ -1,0\right\}}\). Tak więc \(\displaystyle{ X_{1}}\) nie jest zmienną losową na \(\displaystyle{ \sigma}\).
Czy wtedy \(\displaystyle{ \sigma'}\) to \(\displaystyle{ \sigma \cup \left\{ -1\right\}}\)?:)
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Zmienna losowa

Post autor: Spektralny »

A tak, liczyłem w głowie sufit zamiast podłogi. Sorry : )

PS. \(\displaystyle{ \sigma \cup\{-1\}}\) nie jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem bo nie jest domknięte na dopełnienia. Poza tym pamiętaj że powiększasz swojego zbioru (przestrzeni mierzalnej) [0,1], tylko \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało.
darkmiki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 lis 2010, o 18:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków

Zmienna losowa

Post autor: darkmiki »

No dobrze, ale jak w takim razie jak będzie wyglądać \(\displaystyle{ \sigma'}\)?
ODPOWIEDZ