Prawdopodobieństwo geometryczne-moneta i szachownica

[wrzesiun2]

Siema potrzebuję pomocy w rozwiązaniu zadania które już się pojawiło tu na forum ale sam wynik mi nic nie daje a poza tym wydaje mi się on błędny. Wiem, że wynik ma wynosić podobno \(\displaystyle{ \frac{(4-\pi) * r^{2}}{a ^{2}}}\) bo taki podawał prowadzący zajęcia (chyba, że coś źle zapisałem) ale nie podał jak do niego dojść. Proszę o pomoc.

Treść zadania:

"Na nieskończoną szachownice o boku a rzuca się monetę o średnicy 2r < a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta spadnie na obszar trzech pól?"

Z góry dzięki

[Kartezjusz]

Bok pola wynosi a?

[wrzesiun2]

Tak dokładnie a jest długością boku każdego z pól zatem pole każdego z kwadratów wynosi \(\displaystyle{ a^{2}}\).

Dodaje obrazek który obrazuje mój problem i błagam o pomoc

[Kartezjusz]

Rozważamy tylko to pole i sąsiednie:
Zauważmy sytuacja na obrazku jest tą ekstemalną,ale jeśli przesuniesz o długość odcinka koła czerwonego (wystającego za pole),czyli o \(\displaystyle{ r- \frac{ \sqrt{2} }{2}r}\)w prawo lub w dół,czyli zadowoli nas kwadrat o boku długości takiej,ale są 4 rogi na ażdym polu więc wynik będzie 4 razy większy
\(\displaystyle{ P(\Omega)=a^{2}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=8r^{2}( \sqrt{2}-1)^{2}}\)4 razy pola tych kwadratów

[mkb]

Analizując jeden wierzchołek kwadratu z szachownicy:
1) środki kół, które obejmują 3 lub 4 pola należą do kwadratu o boku r, z jednym z wierzchołków pokrywających się z analizowanym wierzchołkiem,
2) środki kół obejmujących 4 pola należą do ćwierćokręgu o promieniu r i środku w analizowanym wierzchołku,
3) obszar, wktórym leżą środki kół obejmujących dokładnie 3 kwadraty to różnica (1)(2).

Stąd poprawny jest wzór podany przez prowadzącego \(\displaystyle{ \frac{4r^2-\pi r^2}{a ^{2}}}\)

[wrzesiun2]

Siemka a czy mógłby ktoś mi krok po kroku napisać jak dojść do tego wyniku? Najlepiej w taki sposób żeby każdy głąb to zrozumiał bo potrzebuję dokładnego rozwiązania. Z góry dzięki.

PS. A rozwiązanie najlepiej umieścić w temacie. Będzie dla przyszłych pokoleń.

[mkb]

Na rysunku liczba pól pokrywanych przez koło o promieniu r, w zależności od położenia środka. Z policzeniem odpowiednich pól nie powinno być problemu:

[wrzesiun2]

sorki za odgrzewanie tematu ale mkb czy mógłbyś dodać swój rysunek jeszcze raz bo z racji innych zajęć odłożyłem rozwiązanie zadania na późniejszy termin a teraz nie ma twojego rysunku. byłbym Ci za to bardzo wdzięczny

[mkb]

Teraz powinno być ok: