Warunek rozkładu na postawie gęstości

[zaraki_kenpachi]

Witam. Do zrobienia mam zadanie: Zmienna losowa X ma gęstość:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x \ \text{dla} \ 0 \leq x< 1
\\2 - x \ \text{dla} \ 1\leq x\leq 2\\0 \ \text{dla pozostałych} x \end{cases} \ x}\)
Mam sprawdzić warunek rozkładu. Jeśli dobrze wszystko rozumiem to mam sprawdzić czy
\(\displaystyle{ \int_{-\infty }^{\infty }f(x) \mbox{d}x = 1}\)
Dobrze rozumiem? Jeśli tak to jak to obliczyć bo mi głupoty wychodzą. Jeśli nie to prosił bym o jakąś podpowiedź. Z góry dziękuję.

[pyzol]

Pokaż jak liczysz.

[zaraki_kenpachi]

Liczę całkę:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty }^{\infty }x \mbox{d}x = \frac{1}{2} x^{2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \int_{-\infty }^{\infty }(2-x) \mbox{d}x = 2x - \frac{1}{2} x^{2}}\)
no i to mam wszystko od minus \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ +\infty}\). I teraz nie wiem co z tym zrobić.

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ \int_{-\infty }^{\infty }x \mbox{d}x}\)

To chyba będzie tak:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty }^{\infty }x \mbox{d}x =\int_{-\infty}^0 x \mbox{d}x +\int_0^{+\infty} x \mbox{d}x = \lim_{ c\to - \infty } \int_{c}^{0}x \mbox{d}x + \lim_{c \to + \infty } \int_{0}^{c}x \mbox{d}x=\ldots}\)

[Chromosom]

zaraki_kenpachi, Lbubsazob, zle to robicie, przeciez funkcja jest okreslona innym wzorem. Macie obliczyc calke oznaczona z tej funkcji ktora jest podana a nie z tej ktora sobie sami wymyslicie

[Lbubsazob]

Fakt, nie sprawdzałam tego, co było wcześniej, akurat spojrzałam na tę całkę która była w trzecim poście. Ale aż tak to się nie znam.

[Chromosom]

jako dodatkowy komentarz dodam ze to co probujesz tutaj obliczyc jest wartoscia glowna calki niewlasciwej, nie wartoscia calki niewlasciwej, ktora jest rozbiezna.

[zaraki_kenpachi]

zaraki_kenpachi, Lbubsazob, zle to robicie, przeciez funkcja jest okreslona innym wzorem. Macie obliczyc calke oznaczona z tej funkcji ktora jest podana a nie z tej ktora sobie sami wymyslicie

Jak innym wzorem? Mam podaną gęstość i z niej liczę całkę. Chyba, że jest inaczej.

[Qń]

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \mbox{d}x =\int_{-\infty}^{0}f(x) \mbox{d}x+\int_{0}^{1}f(x) \mbox{d}x+\int_{1}^{2}f(x) \mbox{d}x+\int_{2}^{+\infty}f(x) \mbox{d}x =\\ =
\int_{-\infty}^{0}0 \mbox{d}x+\int_{0}^{1}x \mbox{d}x+\int_{1}^{2}(2-x)\mbox{d}x+\int_{2}^{+\infty}0 \mbox{d}x = \ldots}\)

Q.

[zaraki_kenpachi]

Aha! Liczę ją w granicach, dla których mam funkcję w sensie dla x należących od do. Już rozumiem. Wielkie dzięki Qń.