Wyznaczenie prawdopodobieństwa z dystrybuanty

[SanczoPanczo]

Witam,

Mam podaną funkcję prawdopodobieństwa tj.:

\(\displaystyle{ P(X=-5) = 0,1}\)
\(\displaystyle{ P(X=-2) = 0,2}\)
\(\displaystyle{ P(X=0) = 0,1}\)
\(\displaystyle{ P(X=1) = 0,3}\)
\(\displaystyle{ P(X=3) = 0,2}\)
\(\displaystyle{ P(X=8) = 0,1}\)

Wyznaczam dystrybuantę dla powyższego rozkładu prawdopodobieństwa:

\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \begin{cases}
0, & -\infinity < x \le -5 \\
0,1, & -5 < x \le -2 \\
0,3, & -2 < x \le 0 \\
0,4, & 0 < x \le 1 \\
0,7, & 1 < x \le 3 \\
0,9, & 3 < x \le 8 \\
1, & x \ge 8\\
\end{cases}}\)


I mam wyznaczyć prawdopodobieństwa tj. \(\displaystyle{ P(X = 1)}\), \(\displaystyle{ P(X < 3)}\), \(\displaystyle{ P(X \ge 0)}\), \(\displaystyle{ P(-1 \le X < 2)}\) za pomocą:

a) funkcji prawdopodobieństwa
b) z wyznaczonej dystrybuanty

No to wyznaczam... (zaraz pojawią się niejasności! )

ad a)

\(\displaystyle{ P\left( X=1\right) = 0,3}\)

\(\displaystyle{ P\left( X < 3 \right) = P\left( X=-5\right) + P\left( X=-2\right) + P\left( X=0\right) + P\left( X=1\right) = 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,7}\)

\(\displaystyle{ P(-1 \le X < 2) = P\left( X=0\right) + P\left( X=1\right) = 0,1 + 0,3 = 0,4}\)

ad b) I tutaj pojawiają się problemy, moim zdaniem dystrybuanta jest wykonana poprawnie, ale mimo to coś nie wychodzi jak trzeba...

\(\displaystyle{ P\left( X=1\right) = 0,4}\) <- nie zgadza się wynik

\(\displaystyle{ P\left( X < 3 \right) = F\left( \left( 3\right) \right) = 0,7}\) <- OK

\(\displaystyle{ P(-1 \le X < 2) = F\left( 2\right) - F\left( 1\right) = 0,7 - 0,3 = 0,4}\) <- OK

Moje problemy to:
1. Dlaczego w dwóch przypadkach wyszedł inny wynik dla \(\displaystyle{ P\left( X=1\right)}\) ?
2. Wynik dla \(\displaystyle{ P(-1 \le X < 2)}\) wyszedł poprawny, ale jeżeli rozwiąże to w ten sposób to wynik wyjdzie niepoprawny:

\(\displaystyle{ P(-1 \le X < 2) = P\left( X<2\right) - P\left( -1 \le X\right) = F\left( 2\right) - P\left( X \ge -1\right) = F\left( 2\right) - P\left( X \le 1\right) = F\left( 2\right) - F\left( 1\right) = 0,7 - 0,4 = 0,3}\)

to samo inaczej, ale także błędnie, bo wynik jest różny od \(\displaystyle{ 0,4}\):

\(\displaystyle{ P(-1 \le X < 2) = F\left( 2\right) -F\left( -1\right) = F\left( 2\right) -\left[ 1-F\left( 1\right) \right] = 0,7 - \left[ 1-0,4\right] = 0,7-0,6 = 0,1}\)

i jeszcze raz to samo inaczej i niestety znowu wynik różny od \(\displaystyle{ 0,4}\):
\(\displaystyle{ P(-1 \le X < 2) = P\left( x<2\right) - P\left( X \ge -1 \right) = F\left( 2 \right) - \left[ 1-F\left( -1\right) \right] = F\left( 2\right) - \left[ 1-\left( 1-F\left( 1\right) \right) \right] = F\left( 2\right) - \left[ 1-1+F\left( 1\right) \right] = F\left( 2\right) - F\left( 1\right) = 0,7-0,4=0,3}\)

Rozwiązałem zgodnie z właściwościami, a wyniki wyszły inne ?! Dlaczego ?!

3. W wyznaczaniu prawdopodobieństwa z funkcji prawdopodobieństwa łatwo jest wyznaczać prawdopodobieństwo ograniczone odpowiednim przedziałem otwartym lub zamkniętym ( czyli. ograniczone poprzez znaki \(\displaystyle{ <}\), \(\displaystyle{ >}\), \(\displaystyle{ \ge}\), \(\displaystyle{ \le}\). ), ale szczerze mówiąc to mój problem z podpunktu drugiego może wynikać z tego, że nie wiem jak to rozpatrzyć w przypadku dystrybuanty, a nie znalazłem informacji jak postępować w przypadku przedziałów w mojej książce ze statystyki oraz internecie. Bardzo prosiłbym o informacje o tym lub przynajmniej jakąś wskazówkę jak "reagować" na te przedziały, gdy wyznaczam prawdopodobieństwa dla dystrybuanty. Jeżeli ktoś nie zrozumiał o co mi chodzi to chodzi mi o to jak reagować w wyznaczaniu dystrybuanty jeżeli mamy określić prawdopodobieństwo dla \(\displaystyle{ P\left( 1 < X \le 5\right)}\), \(\displaystyle{ P\left( 1 < X < 5\right)}\), \(\displaystyle{ P\left( 1 \le X \le 5\right)}\), \(\displaystyle{ P\left( 1 \le X < 5\right)}\), o tak.


Dziękuje za pomoc i cierpliwość
Pozdrawiam.

[silvaran]

Masz źle wyznaczoną dystrybuantę, a konkretnie nierówności są słabe tam gdzie powinny być ostre i odwrotnie : )
Według Twojej dystrybuanty \(\displaystyle{ 0=F(-5)=P(X \le -5)=P(X=-5)=0,1}\). Widzisz błąd?

[viruss3000]

Ale czy funkcja dystrybuanty nie powinna być conajmniej lewostronnie ciągła ?

[silvaran]

Zazwyczaj przyjmuje się, że jest prawostronnie ciągła.