W torebce znajduja sie 4 rodzaje zujków: pomaranczowe, cytrynowe, truskawkowe
i wisniowe (kazdy smak jest reprezentowany przez co najmniej jednego zujka).
Wiadomo, ze
• jezeli wyjmiemy z torebki losowo dwa zujki, to prawdopodobienstwo, ze obydwa sa
cytrynowe jest równe prawdopodobienstwu, ze jeden jest cytrynowy, a jeden pomaranczowy;
• jezeli wyjmiemy z torebki losowo dwa zujki, to prawdopodobienstwo, ze obydwa sa
truskawkowe jest równe prawdopodobienstwu, ze jeden jest cytrynowy, a jeden truskawkowy.
Wyjmujemy losowo z torebki 3 zujki. Co jest bardziej prawdopodobne: wyciagniecie
dwóch zujków truskawkowych i jednego pomaranczowego, czy wyciagniecie dwóch
zujków cytrynowych i jednego truskawkowego?
prawdopodobieństwo żujków
-
pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
prawdopodobieństwo żujków
Mamy:
\(\displaystyle{ p}\) - pomarańczowych
\(\displaystyle{ c}\) - cytrynowych
\(\displaystyle{ t}\) - truskawkowych
\(\displaystyle{ w}\) - wiśniowych
\(\displaystyle{ p+c+t+w=n}\) - wszystkich
Losujemy 2 cukierki z wszystkich więc:
\(\displaystyle{ \overline{\Omega_2}={n\choose 2}}\)
Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania dwóch cytrynowych.
Losujemy dwa cukierki cytrynowe więc:
\(\displaystyle{ \overline{C}={c\choose 2}\\
P(C)=\frac{{c\choose 2}}{{n\choose 2}}}\)
Obliczmy teraz prawdopodobieństwo wyciągnięcia jednego cytrynowego i jednego pomarańczowego.
Wyciągamy jeden z c cukierków i jeden z p cukierków
\(\displaystyle{ \overline{A}=cp\\
P(A)=\frac{cp}{{n\choose 2}}}\) ponieważ prawdopodobieństwa te są równe mamy:
\(\displaystyle{ P(A)=P(C)\\
{c\choose 2}=cp\\
\frac{(c-1)c}{2}=cp\\
c=2p+1}\)
Tym samym sposobem dochodzimy, że:
\(\displaystyle{ t=2c+1\\
t=4p+2+1=5p+3}\)
Teraz losujemy 3 cukierki:
\(\displaystyle{ \overline{\Omega_3}={n\choose 3}}\)
Następnie liczymy prawdopodobieństwa podane w zadaniu:
\(\displaystyle{ P(A_3)=\frac{{t\choose 2}p}{{n\choose 3}}\\
P(B_3)=\frac{{c\choose 2}t}{{n\choose 3}}}\)
Mianowniki są takie same więc zostają do porównania liczniki. Podstawiamy:
\(\displaystyle{ c=2p+1\\
t=4p+2+1=5p+3}\) i porównujemy liczniki.
\(\displaystyle{ p}\) - pomarańczowych
\(\displaystyle{ c}\) - cytrynowych
\(\displaystyle{ t}\) - truskawkowych
\(\displaystyle{ w}\) - wiśniowych
\(\displaystyle{ p+c+t+w=n}\) - wszystkich
Losujemy 2 cukierki z wszystkich więc:
\(\displaystyle{ \overline{\Omega_2}={n\choose 2}}\)
Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania dwóch cytrynowych.
Losujemy dwa cukierki cytrynowe więc:
\(\displaystyle{ \overline{C}={c\choose 2}\\
P(C)=\frac{{c\choose 2}}{{n\choose 2}}}\)
Obliczmy teraz prawdopodobieństwo wyciągnięcia jednego cytrynowego i jednego pomarańczowego.
Wyciągamy jeden z c cukierków i jeden z p cukierków
\(\displaystyle{ \overline{A}=cp\\
P(A)=\frac{cp}{{n\choose 2}}}\) ponieważ prawdopodobieństwa te są równe mamy:
\(\displaystyle{ P(A)=P(C)\\
{c\choose 2}=cp\\
\frac{(c-1)c}{2}=cp\\
c=2p+1}\)
Tym samym sposobem dochodzimy, że:
\(\displaystyle{ t=2c+1\\
t=4p+2+1=5p+3}\)
Teraz losujemy 3 cukierki:
\(\displaystyle{ \overline{\Omega_3}={n\choose 3}}\)
Następnie liczymy prawdopodobieństwa podane w zadaniu:
\(\displaystyle{ P(A_3)=\frac{{t\choose 2}p}{{n\choose 3}}\\
P(B_3)=\frac{{c\choose 2}t}{{n\choose 3}}}\)
Mianowniki są takie same więc zostają do porównania liczniki. Podstawiamy:
\(\displaystyle{ c=2p+1\\
t=4p+2+1=5p+3}\) i porównujemy liczniki.
prawdopodobieństwo żujków
Super. Dzięki wielkie!
Tylko tutaj taki mały błąd dostrzegłam i go poprawiam:
\(\displaystyle{ t=4p+2+1=4p+3}\)
i wychodzi, że prawdopodobieństwa tych zdarzeń są sobie równe
Tylko tutaj taki mały błąd dostrzegłam i go poprawiam:
\(\displaystyle{ t=4p+2+1=4p+3}\)
i wychodzi, że prawdopodobieństwa tych zdarzeń są sobie równe