Wektor losowy (X,Y,Z) ma gęstość proporcjonalną do :
\(\displaystyle{ e^{-2(9x^{2} + 5y^{2} +5z^{2} +6xy +12xz +4yz}}\)
Pokazać, że zmienne losowe U= X+Y+Z i V=X-Y+Z są niezależne...
A więc takie zadanie znalazłem na starym kolosie, wraz z rozwiązaniami dwoma, jednak :
1) pierwsze rozwiązanie to było wyznaczenie macierzy formy kwadratowe, pozniej policzenie macierzy kowariancji wektora (U,V) i niby wyszla macierz taka, ze Var(U) i Var(V) są rózne od 0, ale Cov(U,V) = 0
No i komentarz, że Cov(U,V) = 0 , wynika niezależność U i V.
Jednak sprawdziłem w zeszycie, że normalnie jest implikacja w drugą stronę, tzn :
Jeśli U,V- niezależne to Cov(U,V)=0 .
Jest jeszcze twierdzenie, że jeśli U,V~\(\displaystyle{ N_{2} (m, \partial ^{2})}\) to wtedy mamy równoważność, ale z tego twierdzenia wnioskuje, że U,V mają chyba być dwuwymiarowe? (\(\displaystyle{ N_{2}}\) ?)
Więc to jest źle...
2) drugie rozwiązanie, to ktoś pokazał, że jeśli Var(U+V) = Var(U) + Var(V), wtedy są niezależne...
Ale na wykładzie też miałem implikacje tylko w drugą stronę..
Więc jakieś pomysły, bądź zrozumiałem coś źle ?
Z góry dziękuje