Na odcinku o dł. L wybrano dwa punkty. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję między odległościami między nimi.
Z góry dziękuje
VarX , EX dla odcinka.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
VarX , EX dla odcinka.
Wskazówka - możesz potraktować doświadczenie jako losowy wybór punktu z kwadratu o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0),(L,0),(L,L),(0,L)}\). Wtedy możesz korzystać z prawdopodobieństwa geometrycznego (bo rozkład jest jednostajny), wystarczy zatem gdzie leżą punkty dla których odległość jest równa (lub mniejsza równa) \(\displaystyle{ d}\).
Q.
Q.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
VarX , EX dla odcinka.
Czyli według Ciebie jeśli wybieramy losowo punkt z odcinka \(\displaystyle{ [0,3]}\), to skoro nie jest powiedziane co znaczy "losowo", to w takim razie należy przyjąć na przykład, że bardziej prawdopodobne jest trafienie w przedział \(\displaystyle{ [1,2]}\) niż w \(\displaystyle{ [0,1]}\)?
Q.
Q.
VarX , EX dla odcinka.
Eh, może być jednostajny rozkład, jednak nadal nie wiem jak się zabrać za to zadanie.
-
Sir Ferdek
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 18:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrowy Tuszowskie
- Podziękował: 5 razy
VarX , EX dla odcinka.
Niech (X,Y) będzie dwuwymiarową zmienną losową o rozkładzie "jednostajnym" na powierzchni \(\displaystyle{ \left[ 0,L\right] \times \left[ 0,L\right]}\)
Możemy zapisać, że funkcja gęstości określona jest wzorem:
\(\displaystyle{ f_{X,Y}(x,y)=1/{L^2}}\) dla \(\displaystyle{ (x,y) \in [0,L]}\), \(\displaystyle{ 0}\) w pozostałych przypadkach.
Na początek wyznaczymy dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=|X-Y|}\).
\(\displaystyle{ F_{Z}(z)=P(Z<z)=P(|X-Y|<z)= \iint_{\left\{ (x,y):|x-y|<z\right\}} f_{X,Y}(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y = \frac{2Lz-z^2}{L^2}}\) dla \(\displaystyle{ 0<z \le L}\) (czyli po prostu stosunek pola wyznaczonego przez zbiór punktów spełniających warunek do pola kwadratu o boku L).
Mając dystrybuantę możemy policzyć gęstość rozkładu zmiennej losowej Z różniczkując część ciągłą dystrybuanty.
\(\displaystyle{ f_{Z}(z)=\frac{2L-2z}{L^2}}\)
i teraz już łatwo z definicji policzysz \(\displaystyle{ E(Z)}\) (wyszło mi L/3), \(\displaystyle{ E(Z^2)}\), a wariancja to \(\displaystyle{ V(Z)=E(Z^2) - E^2(Z)}\)
Jakbym się gdzieś pomylił, poprawcie, jutro mam kolosa z tego
PS. Rozkład należy przyjmować zawsze tak, aby nasz model prawdopodobieństwa jak najlepiej opisywał rzeczywistość. W tym przypadku rozkład jednostajny jest dobrym wyborem.
Możemy zapisać, że funkcja gęstości określona jest wzorem:
\(\displaystyle{ f_{X,Y}(x,y)=1/{L^2}}\) dla \(\displaystyle{ (x,y) \in [0,L]}\), \(\displaystyle{ 0}\) w pozostałych przypadkach.
Na początek wyznaczymy dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=|X-Y|}\).
\(\displaystyle{ F_{Z}(z)=P(Z<z)=P(|X-Y|<z)= \iint_{\left\{ (x,y):|x-y|<z\right\}} f_{X,Y}(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y = \frac{2Lz-z^2}{L^2}}\) dla \(\displaystyle{ 0<z \le L}\) (czyli po prostu stosunek pola wyznaczonego przez zbiór punktów spełniających warunek do pola kwadratu o boku L).
Mając dystrybuantę możemy policzyć gęstość rozkładu zmiennej losowej Z różniczkując część ciągłą dystrybuanty.
\(\displaystyle{ f_{Z}(z)=\frac{2L-2z}{L^2}}\)
i teraz już łatwo z definicji policzysz \(\displaystyle{ E(Z)}\) (wyszło mi L/3), \(\displaystyle{ E(Z^2)}\), a wariancja to \(\displaystyle{ V(Z)=E(Z^2) - E^2(Z)}\)
Jakbym się gdzieś pomylił, poprawcie, jutro mam kolosa z tego
PS. Rozkład należy przyjmować zawsze tak, aby nasz model prawdopodobieństwa jak najlepiej opisywał rzeczywistość. W tym przypadku rozkład jednostajny jest dobrym wyborem.