model probabilistyczny rzutu dwoma kostkami

[zaraki_kenpachi]

Witam,
muszę rozwiązać takie zadanie:
"Rzucamy dwiema identycznymi kostkami do gry. Określ model probabilistyczne tego doświadczenia losowego".
Ogólnie rozumiem, że mam określić przestrzeń probabilistyczną. Po pierwsze określam przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ \Omega}\) czyli wszystkie możliwe kombinację dla rzutu dwoma kostkami. Moc \(\displaystyle{ n(\Omega)=6*6=36}\).
Następnie określam \(\displaystyle{ \Sigma}\) - wszystkie podzbiory zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\). Omega jest skończone zatem liczba wszystkich podzbiorów to: \(\displaystyle{ 2^{36}}\).
Wydaje mi się, że do tego miejsca jest ok. Jeśli nie to proszę o jakieś sprostowanie, nakierowanie, wytłumaczenie. Drugi problem to nie potrafię obliczyć P. Z góry dziękuję za pomoc.

[xiikzodz]

Do tamtego miejsca jest OK.

Prawdopodobieństwo definiujemy tak, żeby pasowało do rzucania kostkami, czyli następująco. Niech \(\displaystyle{ X\subseteq\Omega}\). Kładziemy wówczas:

\(\displaystyle{ P(X)=\frac{n(X)}{n(\Omega)}}\)

gdzie \(\displaystyle{ n(X)}\) to liczba elementów zbioru \(\displaystyle{ X}\), zaś \(\displaystyle{ n(\Omega)=36}\) to liczba elementów zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\).

[zaraki_kenpachi]

Dzięki. Ale w takim razie czym jest X? Prawdopodobieństwem zdarzenia losowego -rzut dwiema kostkami ?

[xiikzodz]

Rzut dwiema kostkami modelujemy tu jednoelementowymi podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\).

Zdarzenie losowe to podzbiór zbioru wszystkich możliwych wyników takiego rzutu, czyli podzbiór \(\displaystyle{ \Omega}\).

Ten model ma pewne wady i zalety. Zaletą jest to, że zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Wadą jest wrażliwość na kolejność. To znaczy para \(\displaystyle{ (2,4)}\) jest różna od pary \(\displaystyle{ (4,2)}\). Jeśli więc chcemy poznać prawdopodobieństwo wyrzucenia dwójki i czwórki, musimy zsumować prawdopodobieństwo wyrzucenia pary \(\displaystyle{ (2,4)}\) z prawdopodobieństwem wyrzucenia pary \(\displaystyle{ (4,2)}\), czyli \(\displaystyle{ \frac 1{36}+\frac 1{36}}\).

Inny przykład zdarzenia losowego, to np. podzbiór \(\displaystyle{ \Omega}\), którego elementami są wszystkie elementy o różnych współrzędnych, to znaczy takie rzuty, w których nie wyrzucono dwukrotnie tej samej liczby oczek. Liczność tego zbioru to \(\displaystyle{ 30}\), więc przawdopodobieństwo zdarzenia losowego tym zbiorem opisanego wynisi \(\displaystyle{ \frac{30}{36}}\).

[zaraki_kenpachi]

Pytanie czy do rozwiązania muszę obliczać prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń losowych(tego trochę będzie). Czy może wystarczy to co Napisałaś w poprzednim poście. Mam jeszcze jedno pytanie. Gdyby treść zadania zmienić na:
"Rzucamy dwiema kostkami do gry - czarną oraz białą. Określ model probabilistyczne tego doświadczenia losowego"
Rozwiązuje je tak samo czy zachodzą jakieś różnice?

[xiikzodz]

Prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń losowych nie obliczysz, bo ich jest za dużo. Wystarczy zauważyć, że prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, czyli podzbioru \(\displaystyle{ X\subseteq\Omega}\) zależy jedynie od liczności tego podzbioru i jest równe \(\displaystyle{ \frac{n(X)}{n(\Omega)}}\). W ten sposób otrzymujesz wynik, który można szybko w każdym przypadku zastosować.

Na poziomie modelu rzutu dwoma kostkami wygodnie jest nie odróżniać rzutów identycznymi kostkami od rzutów różnokolorowymi, zaś różnicę zobaczyć dopiero w momencie tłumaczenia języka modelu na język rzeczywistego doświadczenia. To znaczy jeśli kostki są nieodróżnialne i wobec tego interesuje nas wynik w postaci pary liczb niezależnie od ich kolejności, to i tak na moment uwzględniamy kolejność (w rzeczywistym doświadczeniu możemy wybrać kość, która upadła bardziej na lewo i do góry np.), a dopiero możliwy wynik rzutu np. wypadła piątka i trójka interpretujemy jako dwuelementowy podzbiór \(\displaystyle{ \{(3,5),(5,3)\}\subseteq\Omega}\).

Jeśli chcemy już na poziomie modelu mieć różnicę pomiędzy rzutem jednakowymi koścmi a rzutem różnokolorowymi, wówczas możemy dla rzutu jednakowymi kośćmi rozważyć inny model:

\(\displaystyle{ \Omega=\{(a,b):a\le b\}}\)

czyli rozważamy pary takie, że pierwsza współrzędna jest niewiększa od drugiej.

Wówczas:

\(\displaystyle{ n(\Omega)=21}\)

co jest liczbą wszystkich takich par. Wówczas jednak prawdopodobieństwo musimy inaczej określić, przynajmniej jeśli chcemy mieć zgodność z rzeczywistością. Mianowicie dla każdego jednoelementowego podzbioru \(\displaystyle{ \{(a,b)\}}\) zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) kładziemy:

\(\displaystyle{ P(\{a,b\})=\left\{\begin{array}{ccc}\frac 1{36}&\mbox{gdy}&a=b\\\\\frac 2{36}&\mbox{gdy}&a<b\end{array}\right.}\)

następnie rozszerzamy definicję na dowolne podzbiory \(\displaystyle{ X\subseteq\Omega}\) wzorem:

\(\displaystyle{ P(X)=\sum_{x\in X}P(\{x\})}\).

Jak widać kosztem specjalizacji modelu jest utrata prostoty określenia funkcji prawdopodobieństwa.

[zaraki_kenpachi]

Wielkie dzięki za rzeczową odpowiedź i wyjaśnienie.