Pokazać zbieżność z prawdopodobieństwem 1.

[klaudiak]

\(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3,....}\) - niezależny ciąg zmiennych losowych o tym samym rozkładzie takich, że
\(\displaystyle{ EX_i=m}\) oraz \(\displaystyle{ VarX_i=\sigma^2}\)
Pokazać, że zmienna \(\displaystyle{ \frac{X_1+...X_n}{n}}\) jest zbieżna do m z prawdopodbieństwem 1 (prawie na pewno.)
Z góry dziękuję za pomoc

[szw1710]

Tu jest pewna analogia z twierdzeniem o ciągach - spróbuj to wykorzystać. Mianowicie, jeśli
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=a,}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+\dots+a_n}{n}=a.}\)

[klaudiak]

Mogłabym prosić jeszcze o dalszą wskazówkę, bo jakoś tego nie widzę...
To dopiero moje początki z prawdopodobieństwem.

[szw1710]

Podane przez Ciebie twierdzenie mówi, że średnia arytmetyczna z próby jest estymatorem średniej arytmetycznej w rozkładzie cechy w populacji generalnej. Oczywiście twierdzenie jest z rachunku prawdopodobieństwa, ale ma widoczną gołym okiem interpretację statystyczną.

Zobacz zatem do podręczników statystyki do rozdziałów o estymacji punktowej parametrów rozkładu cechy.

"Na piechotę" musisz po prostu rozpisać definicję zbieżności ciągu funkcji mierzalnych prawie na pewno.

Masz do wykazania, że

\(\displaystyle{ P\Bigl(\Bigl\{\omega\in\Omega:\lim_{n\to\infty}\frac{X_1(\omega)+\dots+X_n(\omega)}{n}=m\Bigr\}\Bigr)=1}\)

[klaudiak]

Tak, tak, ja muszę zdecydowanie policzyć to na piechotę, tylko jak mogę to zrobić?-- 7 czerwca 2011, 21:17 --Rozumiem, że w zbiorze, od którego mam policzyć prawdopodobieństwo zawiera się zbiór \(\displaystyle{ \{\omega : \lim_{ n\to \infty } X_n=m\}}\), cos z tym?

[szw1710]

Zobacz prawa wielkich liczb. Twoje twierdzenie jest wnioskiem z mocnego prawa wielkich liczb Kołmogorowa.

[klaudiak]

A nie można tego jakoś policzyć bezpośrednio z tej definicji?