Rzucam kostką a nast. monetą tyle razy ile wypadło oczek...

[mbienkowski]

Witam,

mam problem z następującym zadaniem: rzucam kostką a następnie monetą tylokrotnie ile wypadło oczek na kostce. Należy opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia
a) dokładnie 5 orłów
b) przynajmniej jednej reszki

Wydaję mi się, że powinno być ono rozwiązane następująco (jednak nie jestem pewien).

\(\displaystyle{ \Omega = \{ r,o, rr, oo, ro, or, rrr, ooo, ... , rrrrrr, oooooo \}}\), gdzie r - reszka, o - orzeł.
Moc omegi = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126. Tłumaczę skąd te wartości.
Wyrzucając 1 oczko do gry mam dokładnie 2 możliwe wyniki rzutu monetą: orzeł i reszka.
Wyrzucając 2 oczka: 2^2 = 4 permutacje.
Wyrzucając 3 oczka: 3^2 = 8 permutacji.
I tak dalej...

a) Wypisuje sobie wszystkie możliwości, tj.: \(\displaystyle{ A = \{ rooooo, oroooo, ... , ooooor \}}\)
Moc zbioru A wynosi wtedy 6. Stąd P(A) = 6/126 = 1/21.

b) przynajmniej jedna reszka (czyli jedna i więcej). Stosuje zaprzeczenie: B' - ani jednej reszki.
Stąd teoretycznie \(\displaystyle{ B' = \{ oooooo \}}\). Moc zbioru B' = 1. P(B) = 1 - P(B') = 1 - 1/126 = 125/126.

Mam pewne wątpliwości stąd proszę o pomoc. Z góry dziękuje za wszystko.

[Inkwizytor]

Moc zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) w porządku
Pare "ale":

Wyrzucając 2 oczka: 2^2 = 4 permutacje.
Wyrzucając 3 oczka: 3^2 = 8 permutacji.
I tak dalej...

- Czeski błąd
- Słowo "permutacje" mogłoby innym sugerować liczenie ze wzoru na permutacje. Oczywiście rozumiem o co Ci chodziło ale zawsze bezpieczniej użyć słowa "możliwości" (liczone rzecz jasna z wariacji z powtórzeniami)

a) dokładnie 5 orłów
[...]
a) Wypisuje sobie wszystkie możliwości, tj.: \(\displaystyle{ A = \{ rooooo, oroooo, ... , ooooor \}}\)
Moc zbioru A wynosi wtedy 6. Stąd P(A) = 6/126 = 1/21.

Czy na pewno to wszystkie możliwości uzyskania 5 orłów?

b) przynajmniej jednej reszki
[...]
b) przynajmniej jedna reszka (czyli jedna i więcej). Stosuje zaprzeczenie: B' - ani jednej reszki.
Stąd teoretycznie \(\displaystyle{ B' = \{ oooooo \}}\). Moc zbioru B' = 1. P(B) = 1 - P(B') = 1 - 1/126 = 125/126.

Ani jednej reszki ---> wynika z Twego zapisu że wg. Ciebie jest tylko jedna taka możliwość czy na pewno?

[mbienkowski]

Ech... odpowiedź okazała się dużo prostsza. Należy bowiem skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Podzielić całość na przypadki
A - zdarzenie w którym losuję 5 orłów
B_1 = prawdopodobieństwo wylosowania 1 oczka na kostce
B_2 = prawdopodobieństwo wylosowania 2 oczek na kostce
...
B_6 = prawdopodobieństwo wylosowania 6 oczek na kostce

Wówczas \(\displaystyle{ P(A) = \sum_{i=1}^{6} (P(B_i) * P(A|B_i))}\), gdzie \(\displaystyle{ P(A|B_i)}\) liczymy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

[Inkwizytor]

jeśli chodzi o a) to Twój tok rozumowania jest poprawny tylko był bład w wyniku. Stosowanie tego o czym piszesz to strzelanie do komara z armaty