rozkład zmiennej losowej dyskretnej

[przyszly_naukowiec]

Witam!
Mam zadanie: Dla jakiej wartości stałej \(\displaystyle{ c}\) ciąg \(\displaystyle{ p_{n} = \frac{c * n}{(n+1)!} dla n=1,2,3...}\) określa rozkład pewnej zmiennej losowej?

Wiem że musi spełniać warunek: \(\displaystyle{ (\sum_{n=1}^{ \infty } p_{n}) = 1}\) Tylko problem pojawia się obliczeniu tej sumy (nawet przy zamianie na granicę), nie wychodzi mi żaden sensowny wynik. Czy ma ktoś jakiś pomysł jak to obliczyć?
Rozwiązaniem tego zadania powinno być: \(\displaystyle{ c=1}\)
Z góry dzięki za pomoc.

[szw1710]

... %3D1+to+oo

Więc rzeczywiście jest \(\displaystyle{ c=1}\).

Pomysł na policzenie:

\(\displaystyle{ \text{e}^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}}\)

Różne kombinacje z całkowaniem i różniczkowaniem tego szeregu, wreszcie podstawienie \(\displaystyle{ x=1}\).

[fon_nojman]

\(\displaystyle{ \frac{n}{(n+1)!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}.}\)

[szw1710]

fon_nojman
Myślałem właśnie o czymś takim, ale jakoś nie doszedłem, przynajmniej w myśli. Chyba wystartowałem od złych mianowników. A to bardzo prosta rzecz, jak widać.


przyszly_naukowiec
Teraz proszę skorzystać ze wzoru z mojej poprzedniej wiadomości, ale już bez żadnego różniczkowania, tylko bezpośrednio (no prawie - z indeksami sumowania trzeba trochę uważac).

[fon_nojman]

Nie nadużywajmy wzoru na \(\displaystyle{ e,}\) to wyższa matematyka.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{m}\frac{cn}{(n+1)!}=c\sum_{n=1}^{m}\left[\frac{n+1-1}{(n+1)!}\right]=c\sum_{n=1}^{m}\left[\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right]=c\left[1-\frac{1}{(m+1)!}\right]\mathop{ \longrightarrow }_{m\to \infty} c.}\)

[szw1710]

Może gotowy wzór byłby szybszy. Ja dokładnie rozumiem, co i po co napisałeś, ale dla przyszłych naukowców (trochę aluzja do nazwy autora, ale nie do niego osobiście), może nie być do końca zrozumiałe. Tym niemniej ładne rozwiązanie, podoba mi się i doceniam je.

[fon_nojman]

Nie przesadzajmy, Ameryki nie odkryłem.