Zmienna losowa X ma rozkład N(3, 1). Niech \(\displaystyle{ Y = |X-3|}\). Ocen prawdziwosc zadania:
\(\displaystyle{ f_{Y}(x) = f_{X}(x + 3)}\) dla X > 0.
Ostatnio miałem do zrobienia sporo zadań z rozkłądem normalnym ale na tym się zaciąłem. Wiem, że \(\displaystyle{ Y=X-3}\) ma rozkład normalny standardowy ale czy do tego zadania mogę to jakoś wykorzystać? proszę o pomoc
Rozkład normalny i prawdziwość twierdzenia
-
szw1710
Rozkład normalny i prawdziwość twierdzenia
Rozkład określasz np. przez dystrybuantę. Masz dystrybuantę rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1),}\) wykorzystaj ja jakoś do wyznaczenia dystrybuanty modułu.
Niech \(\displaystyle{ Y=X-3}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\) z dystrybuantą \(\displaystyle{ \Phi}\). Pytamy o rozkład zmiennej \(\displaystyle{ |Y|}\).
\(\displaystyle{ P\bigl(a\le |Y|\le B\bigr)=\dots}\)
W tym celu musisz rozwiązać nierówność modułową \(\displaystyle{ a\le |y|\le b}\) rozważając różne przypadki położenia liczb \(\displaystyle{ a,b}\).
Np. jeśli \(\displaystyle{ a,b\ge 0}\), to
\(\displaystyle{ P\bigl(a\le |Y|\le B\bigr)=P(a\le Y\le b)=\Phi(b)-\Phi(a).}\)
Np. jeśli \(\displaystyle{ a,b\le 0}\), to
\(\displaystyle{ P\bigl(a\le |Y|\le B\bigr)=P(-ba\le Y\le -a)=\Phi(-b)-\Phi(-a)=\\[1ex]=(1-\Phi(b))-(1-\Phi(a))=\Phi(a)-\Phi(b).}\)
Pozostały przypadek, tj. \(\displaystyle{ a<0<b}\) rozważ samodzielnie. Ważne tez jest (przynajnmiej mi się tak wydaje), który z końców przedziału, \(\displaystyle{ a}\) czy \(\displaystyle{ b}\), jest dalej od zera.
Niech \(\displaystyle{ Y=X-3}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\) z dystrybuantą \(\displaystyle{ \Phi}\). Pytamy o rozkład zmiennej \(\displaystyle{ |Y|}\).
\(\displaystyle{ P\bigl(a\le |Y|\le B\bigr)=\dots}\)
W tym celu musisz rozwiązać nierówność modułową \(\displaystyle{ a\le |y|\le b}\) rozważając różne przypadki położenia liczb \(\displaystyle{ a,b}\).
Np. jeśli \(\displaystyle{ a,b\ge 0}\), to
\(\displaystyle{ P\bigl(a\le |Y|\le B\bigr)=P(a\le Y\le b)=\Phi(b)-\Phi(a).}\)
Np. jeśli \(\displaystyle{ a,b\le 0}\), to
\(\displaystyle{ P\bigl(a\le |Y|\le B\bigr)=P(-ba\le Y\le -a)=\Phi(-b)-\Phi(-a)=\\[1ex]=(1-\Phi(b))-(1-\Phi(a))=\Phi(a)-\Phi(b).}\)
Pozostały przypadek, tj. \(\displaystyle{ a<0<b}\) rozważ samodzielnie. Ważne tez jest (przynajnmiej mi się tak wydaje), który z końców przedziału, \(\displaystyle{ a}\) czy \(\displaystyle{ b}\), jest dalej od zera.