Twierdzenie graniczne

[Nenii]

Wykorzystując twierdzenie graniczne rozwiąż następujące zadanie. Chcemy wyznaczyć siłę kiełkowania nasion, czyli prawdopodobieństwo p wylosowania nasiona zdolnego do wykiełkowania. Ile co najmniej nasion powinna liczyć próbka aby z prawdopodobieństwem 0,95 błąd oszacowania na podstawie tej próbki był nie większy niż 0,01.
( wskazówka: \(\displaystyle{ P(1-p) \le \frac{1}{4}}\))

Ma ktoś jakiś pomysł na to zadanie?

[pyzol]

Mamy znaleźć takie n, że:
\(\displaystyle{ P(p-0{,}01 \le \overline{X} \le p+0{,}01) \ge 0{,}95}\)
Teraz musisz odpowiednio przekształcić tę nierówność .
Mnożymy przez n, przenosimy p na drugą stronę, dzielimy przez \(\displaystyle{ \sqrt{npq}=\sqrt{np(1-p)}}\).
\(\displaystyle{ p(1-p)}\) - wariancja zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_i}\).
Jak uda Ci się to przekształcić to będziesz mogła skorzystać z CTG. Zrób najpierw to i zobaczymy co wyjdzie.

-- 21 maja 2011, o 22:09 --

Dobra ja przekształcę jedną nierówność tak aby się pojawił wzór z CTG:
\(\displaystyle{ \overline{X} \le p+0{,}01\\
\frac{\sum_i X_i}{n} \le p+0{,}01\;|\cdot n
\sum_{i=1}^n \le np +\frac{n}{100}\\
\sum_{i=1}^n - np \le \frac{n}{100}\; |/ \sqrt{n}\\
\frac{\sum_i X_i -np}{\sqrt{n}} \le \frac{\sqrt{n}}{100}}\)
Teraz dzielimy przez odchylenie standardowe zmiennej losowej. Wynosi ono \(\displaystyle{ \sqrt{p(1-p)}}\).
\(\displaystyle{ \frac{\sum_i X_i -np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{\sqrt{n}}{100\sqrt{p(1-p)}}}\)
Teraz pytanie jaki rozkład w przybliżeniu ma zmienna losowa (korzystamy z CTG):
\(\displaystyle{ Y=\frac{\sum_i X_i -np}{\sqrt{np(1-p)}}}\)?-- 21 maja 2011, o 22:20 --Jeszcze raz jest kilka literówek, a nie mogę postu edytować:
\(\displaystyle{ \overline{X} \le p+0{,}01\\ \frac{\sum_i X_i}{n} \le p+0{,}01\;|\cdot n \\
\sum_{i=1}^n X_i \le np +\frac{n}{100}\\
\sum_{i=1}^n X_i - np \le \frac{n}{100}\; |/ \sqrt{n}\\
\frac{\sum_i X_i -np}{\sqrt{n}} \le \frac{\sqrt{n}}{100}\\
\frac{\sum_i X_i -np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{\sqrt{n}}{100\sqrt{p(1-p)}}}\)
To samo tylko bez błędów drukarskich i z pominięciem komentarza.

[Nenii]

Zmienna ma standardowy rozkład normalny \(\displaystyle{ N (0,1)}\)

Czyli to będzie wyglądało tak?

\(\displaystyle{ ( - \frac{ \sqrt{n} }{100 \sqrt{p(1-p)} } \le \frac{ \sum_{i}^{}Xi - np }{ \sqrt{n} } \le \frac{ \sqrt{n} }{100 \sqrt{p(1-p)} } ) \ge 0,95}\)

trochę za długo wpisywałam jak widzę

[pyzol]

Czyli:
\(\displaystyle{ P\left( \frac{\sum_i X_i -np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{\sqrt{n}}{100\sqrt{p(1-p)}} \right)=
\Phi \left(\frac{\sqrt{n}}{100\sqrt{p(1-p)}}\right)}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \Phi(t)}\) dystrybuanta rozkładu normalnego. Patrząc teraz na drugą stronę, której nie pisałem (powinnaś sobie poradzić to jest analogia), mamy:
\(\displaystyle{ P(p-0{,}01 \le \overline{X} \le p+0{,}01)=\Phi \left(\frac{\sqrt{n}}{100\sqrt{p(1-p)}}\right)-
\Phi\left(-\frac{\sqrt{n}}{100\sqrt{p(1-p)}}\right)}\)
Dalej korzystamy ze wzoru: \(\displaystyle{ \Phi(-t)=1-\Phi(t)}\)
\(\displaystyle{ P(p-0{,}01 \le \overline{X} \le p+0{,}01)=2\Phi \left(\frac{\sqrt{n}}{100\sqrt{p(1-p)}}\right)-1}\)-- 21 maja 2011, o 23:08 --A teraz takie grube oszacowania. Najpierw zobacz do tablic i znajdź najmniejszą taką wartość t, żeby:
\(\displaystyle{ 2\Phi(t)-1 \ge 0{,}95\\
\Phi(t) \ge 0{,}975}\)

[Nenii]

czyli
\(\displaystyle{ \Phi(t) = 1,96}\)

[pyzol]

Czyli:
\(\displaystyle{ t \ge 1{,}96}\)
więc:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{100\sqrt{p(1-p)}} \ge 1{,}96}\)
Problem w tym, że my nie znamy p i po to jest wskazówka, żeby jakoś to oszacować.

[Nenii]

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{100\sqrt{p(1-p)}} \ge 1{,}96}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{100\sqrt{ \frac{1}{4} }} \ge 1{,}96}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{n} \ge 98}\)
\(\displaystyle{ n \ge 9604}\)

Dziękuję bardzo za pomoc