Zmienna Losowa

[Xanas]

Witam, bardzo bym prosił o pomoc w następujących przykładach

1. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości:
\(\displaystyle{ f(x) \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{12}x \ dla \ 1 \leqslant x \leqslant 5\\0 \ dla \ pozostałych \ x \end{array}}\)
Obliczyć:
a)Wartość oczekiwaną
b)wariancje tej zmiennej

2.
Zmienna losowa X ma rozkład Normalny\(\displaystyle{ N[0,1]}\) Ustalić wartość prawdopodobieństw
a) \(\displaystyle{ P(X<0,3)}\)
b) \(\displaystyle{ P(X>2,3)}\)
c) \(\displaystyle{ P(0,2<X<3,8)}\)

3.
Zmienna losowa X ma rozkład\(\displaystyle{ X \sim N[3.2]}\)
Obliczyć:
a)\(\displaystyle{ P(X<5)}\)
b)\(\displaystyle{ P(4<X<5)}\)
c)\(\displaystyle{ P(X>2)}\)

Z góry dzięki

[Natasha]

1. \(\displaystyle{ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f(x)dx=\int_{1}^{5}x\cdot \frac{1}{12}xdx...}\)

\(\displaystyle{ D ^{2}X=E(X ^{2})-(E(X)) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ E(X ^{2})=\int_{-\infty}^{+\infty}x ^{2}\cdot f(x)dx}\)

[Xanas]

Witam, czy mogłabyś powiedzieć co znaczy \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) i jako że mało rozumiem z tych wzorów mogłabyś dać do nich przykład wykorzystania?

[Natasha]

Mogłabyś, jak już

\(\displaystyle{ E(X)}\) to wartość oczekiwana, a \(\displaystyle{ D ^{2}X}\) to wariancja zmiennej losowej.
Z \(\displaystyle{ E(X)}\) rozpisałam Ci tą całkę, wystarczy ją policzyć, mam nadzieję, że umiesz liczyć całki oznaczone?;)
Z \(\displaystyle{ E(X ^{2})}\) trzeba policzyć podobną całkę, jak z \(\displaystyle{ E(X)}\), tylko mnożysz przez \(\displaystyle{ x ^{2}}\) funkcję \(\displaystyle{ \frac{1}{12}x}\) i też rozwiąż całkę. Potem wykorzystaj te dwa wyniki do obliczenia wariancji. Ten środkowy wzór.

[Xanas]

ok, coś zrobiłem,pewnie źle . jak coś to proszę o poprawienie bo ja naprawdę nie łapię probabilistyki i pewnie herezje powypisywałem
1
\(\displaystyle{ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f(x)dx=\int_{1}^{5}x\cdot \frac{1}{12}xdx... = \int_{1}^{5} 5 \cdot \frac{1}{12} \cdot 5 dx..}\)
to samo dla 1

\(\displaystyle{ = \frac{25}{12}- \frac{1}{12} = \frac{24}{12} =2
E(X)=2}\)

\(\displaystyle{ E(X ^{2})=\int_{-\infty}^{+\infty}x ^{2}\cdot f(x)dx = \int_{1}^{5}x^{2}\cdot \frac{1}{12}xdx..= 5 ^{2} \cdot \frac{1}{12} \cdot 5 dx= \frac{125}{12}}\)
to samo dla 1

\(\displaystyle{ = \frac{125}{12}- \frac{1}{12} = \frac{124}{12} =10,3}\)

No i teraz ostatni wzór:
\(\displaystyle{ D ^{2}X=E(X ^{2})-(E(X)) ^{2} = 10,3 - 2^{2} = 10,3 -4 =6,3}\)

[Natasha]

Jak się rozwiązuje całki oznaczone? Mieliście to na zajęciach?

[Xanas]

No pamiętam że się podstawia pod X pierw najwyższą wartość(5) potem najniższą (1) od najwyższej się odejmuje najniższą , czy to nie tak?

[Natasha]

\(\displaystyle{ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f(x)dx=\int_{1}^{5}x\cdot \frac{1}{12}xdx= \frac{1}{12}\int_{1}^{5}x ^{2} dx = \frac{1}{12}\cdot [\frac{x ^{3} }{3}]_{1}^{5}= \frac{1}{36} (5 ^{3}-1 ^{3})...}\)
Dalej podobnie i radzę przypomnieć sobie liczenie całek oznaczonych, zanim zabierzesz się za zadania takiego typu. Pzdr.

PS jak zapisać granice całki w latexie?

[Xanas]

Już nie będę wklejał całego tego liczenia bo z tym kodem dużo zabawy a mogłabyś policzyć i powiedzieć mi czy wyszło
\(\displaystyle{ E(X)=3,4
E(X ^{2})=13
D ^{2}X= 1,44}\)

I czy mógłbym prosić o pomoc w dwóch następnych ?:P

[M Ciesielski]

Poszukaj w notatkach jak wygląda dystrybuanta \(\displaystyle{ F}\) rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Dalej, \(\displaystyle{ F(x)= P(X \le x)}\), wystarczy podstawić.