Znaleźć wartość oczekiwaną:

[klaudiak]

\(\displaystyle{ \Omega= \{ a,b,c \}}\) - wszystkie zdarzenia są jednakowo prawdopodobne
Określono dwie zmienne losowe X i Y takie, że: X(a)=2, X(b)=1, X(c)=0; Y(a)=0, Y(b)=2, Y(c)=1.
Obliczyć \(\displaystyle{ E ( \frac{Y}{X+Y} )}\) - wartość oczekiwana.
Odp. \(\displaystyle{ \frac{5}{9}}\).
Będę wdzięczna za wszelkie wskazówki.

[octahedron]

\(\displaystyle{ P(a)=P(b)=P(c)=\frac{1}{3}\\
Z=\frac{Y}{X+Y}\\
Z(a)=\frac{Y(a)}{X(a)+Y(a)}=\frac{0}{0+2}=0\\
Z(b)=\frac{Y(b)}{X(b)+Y(b)}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}\\
Z(c)=\frac{Y(c)}{X(c)+Y(c)}=\frac{1}{1+0}=1\\
E(Z)=Z(a) \cdot P(a)+Z(b) \cdot P(b)+Z(c) \cdot P(c)=0+\frac{2}{9}+\frac{1}{3}=\frac{5}{9}}\)